2020-2021学年安徽省肥东县高级中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试

数 学（文）试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知直线与直线平行，则的值为（    ）

A. 0或3或                          B. 0或3                       C. 3或            D. 0或

2.、分别是椭圆的左顶点和上顶点， 是该椭圆上的动点，则点到直线 的距离的最大值为（    ）

A.                         B.                  C.                      D.

3.某中学高一年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加国防知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（    ）

A. 8                                 B. 168                         C. 9                           D. 169

4.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（    ）

A.                                 B.                       C.                                   D.

5. 有两个不同交点时，则k的取值范围为（    ）

A.     B.     C.     D.

6.执行如图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为

A. 105                             B. 16                        C. 15                           D. 1

7.设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为.若=2，则该椭圆的方程为（     ）

A.     B.     C.     D.

8.如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（   ）

A.              B.           C.               D.

9.设点在直线上，若，且恒成立，则的值

A.                                    B.                               C.                     D.

10.下列选项中，说法正确的是（    ）

A. 命题“，”的否定是“，”

B. 命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件

C. 命题“若，则”是假命题

D. 命题“在中中，若，则”的逆否命题为真命题

11.已知直线为圆在点处的切线，点为直线上一动点，点为圆上一动点，则的最小值为（    ）

A.                                  B.                             C.              D.

12.设P是椭圆上一动点，F1,F2分别是左、右两个焦点则 的最小值是（     ）

A.            B.           C.           D.

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)

13.如果直线和直线都平行于直线，则之间的距离为_______

14.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）

若从高校抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校的概率__________．

15.直线与圆相交于两点，则弦的长度等于___________.

16.设F1 ， F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为   

三、解答题(共6小题 ,共70分)

17. （12分）已知圆经过点.

（1）若直线与圆相切，求的值；

（2）若圆与圆无公共点，求的取值范围.

18. （10分）已知命题： ，命题： （）．

（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；

（2）若， 为真命题， 为假命题，求实数的取值范围．

19. （12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖规则如下：1、抽奖方案有以下两种：方案，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中。

抽奖条件是：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案抽奖一；满足150元，可根据方案抽奖（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案抽奖三次或方案抽奖两次或方案各抽奖一次）。已知顾客在该商场购买商品的金额为250元。

（1）若顾客只选择根据方案进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；

（2）当若顾客采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（0元除外）。

20. （12分）已知直线经过点，斜率为

（Ⅰ）若的纵截距是横截距的两倍，求直线的方程；

（Ⅱ）若，一条光线从点出发，遇到直线反射，反射光线遇到轴再次反射回点，求光线所经过的路程。

21. （12分）某校高二2班学生每周用于数学学习的时间（单位： ）与数学成绩（单位：分）之间有如表数据：

（Ⅰ）求线性回归方程；

（Ⅱ）该班某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该生数学成绩．

参考数据： ， ， ， ，

回归直线方程参考公式： ，

22. （12分）已知椭圆C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，点A（0，﹣2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

参考答案

1.D

【解析】∵直线与直线平行

∴，即

∴， ，或

经验证当时，两直线重合.

故选D

2.D

【解析】由椭圆方程可得，可得方程为，即，设，则点到直线 的距离为 ，故选D.

【方法点晴】本题主要考查椭圆的方程与性质及利用三角函数求最值，属于难题. 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.

3.C

【解析】∵甲班学生成绩的平均分是85，

∴79+78+80+80+x+85+92+95=85×7，

即x=6.

∵乙班学生成绩的中位数是83，甲班学生成绩的中位数是80+x=83，得x=3；

∴若y⩽1，则中位数为81，不成立。

若y>1，则中位数为80+y=83，

解得y=3.

∴x+y=6+3=9，本题选择C选项.

4.C

【解析】设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y，则所有基本事件构成的平面区域为 ，设“这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，如图中阴影部分所示。

由几何概型概率公式得 ，即这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为，选C。

5.B

【解析】由图知，k的取值范围为,由AB与圆相切得 k的取值范围为 ,选B.

6.C

【解析】根据程序框图确定框图所要执行的运算，由输入的依次进行运算求，根据判断框中的条件判断运算是否执行，得到结果，故选C．

7.A

【解析】由已知可得 所求方程为，故选A.

8.B
 

【解析】不妨设椭圆方程为 =1，（a＞b＞0），
由题意得 ，
解得a=8，b=2，c= =2 ，
∴该椭圆的离心率为e= = = ．故选：B．

9.C

【解析】由题意得当，所以直线过定点，

当，所以直线过定点。

∵恒成立，

∴。

又，

∴,

∵

∴的斜率为。

∴直线的方程为，即；

直线的方程为，即。

∴。选C。

10.C

【解析】对应A，命题“，”的否定是“，”错误；对于B，当命题“为真”，可能一真一假，不一定是真命题，当是真命题时，都是真命题，此时为真，故命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件，错误；对于C，若，当时，与的大小关系不确定，假命题；对于D，“在中中，若，则或，假命题，命题的逆否命题也是假命题，故答案为C．

11.B

【解析】由题意可得：直线为，即

圆心到直线的距离为d，

∴的最小值为故选：B

12.C

【解析】由椭圆的对称性可知当点P为短轴顶点时最大，此时取得最小值，此时

13.

【解析】∵，∴，同理，解得，因此， ， ．

14.

【解析】根据分层抽样的方法，可得，解得，

 所以若从高校抽取的人中选人作专题发言，共有种情况，

则这二人都来自高校共有种情况，所以概率为．

15.

【解析】的圆心为.半径，

圆心到直线的距离

弦长

故答案为

16.x2+=1
 

【解析】由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2 ，
∴A点坐标为（c，b2），
设B（x，y），则
∵|AF1|=3|F1B|，
∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）
∴B（﹣c，﹣b2），
代入椭圆方程可得 ，
∵1=b2+c2 ，
∴b2= ， c2= ，
∴x2+=1．
所以答案是：x2+=1．
 

17.(1) 或. (2)

【解析】将点的坐标代入，

可得，

所以圆的方程为，即，

故圆心为，半径.

（1）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，

即，

整理得，

解得或.

（2）圆的圆心为，则,

由题意可得圆与圆内含或外离，

所以或，

解得或.

所以的取值范围为.

18.（1）；（2）．

【解析】（1）对于，对于，

由已知， ，∴∴.

（2）若真： ，若真： ，

由已知， 、一真一假.

①若真假，则，无解；

②若假真，则，∴的取值范围为.

19.(1) ；(2)15元.

（1）记甲袋中红球是，白球分别为

由题意得顾客可以从甲袋中先后摸出2个球，其所有等可能出现的结果为

共9种，

其中结果可获奖金15元，所以顾客所获奖金为15元的概率为.

（2）由题意的顾客可以根据方案抽奖两次或根据方案各抽奖一次。由（1）知顾客根据方案抽奖两次所获奖金及其概率如表1：

记乙袋中红球分别是，白球

则顾客根据方案各抽奖一次的所有等可能出现的结果为

共9种

其中结果可获奖金25元。结果可获奖金15元，

可获奖金10元，其余可获奖金0元，所以顾客根据方案各抽奖一次所获奖金及其概率如表2：

由表1，表2可知顾客最有可能获得的奖金数为15元.

20.（1）或；（2）.

【解析】（Ⅰ）由题意得。

直线的方程为，

令，得

令，得

∵的纵截距是横截距的两倍

解得或

∴直线或，

即或

（Ⅱ）当时，直线，

设点关于的对称点为，

则，

解得，

，

关于轴的对称点为

光线所经过的路程为

21.（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）， ，

因此可求得回归直线方程.

（Ⅱ）当时，，

故该同学预计可得分左右．

22. 【解析】（1）设F（c，0）．

∵直线AF的斜率为 ，

∴ = ，解得c= ．

又离心率为e= = ，

由b2=a2﹣c2，解得：a=2，b=1，

∴椭圆E的方程为 +y2=1．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆方程联立，

整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即k2＞ 时，

x1+x2= ，x1•x2= ，

∴|PQ|= ，

∵点O到直线l的距离d= ，

∴S△OPQ= •d•|PQ|= ，

设 =t＞0，则4k2=t2+3，

∴S△OPQ= = ≤1，

当且仅当t=2，即 =2，解得k=± 时取等号，且满足△＞0，

∴△OPQ的面积最大时，直线l的方程为：y=± x﹣2