高中数学人教版新课标A必修11.2.2函数的表示法教学设计及反思

这是一份高中数学人教版新课标A必修11.2.2函数的表示法教学设计及反思，共14页。教案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，预习评价，合作探究，教师点拨，交流展示等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．了解函数的三种表示法，会根据题目条件不同的表示法表示函数.
2．会求简单函数的解析式及画简单函数的图象.
3．理解分段函数的意义，并能简单应用.
4．了解映射的概念及表示法.
5．理解映射与函数的区别与联系.
【学习重点】
1．函数的三种表示方法
2．分段函数的概念
【学习难点】
1．根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？
2．分段函数的表示及其图象
【自主学习】
1．函数的三种表示法
2．映射
3．分段函数
在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，函数有着不同的 .
【预习评价】
1．已知函数由下表给出，则
A.1 B.2 C.3 D.4
2．已知反比例函数满足，的解析式为 .
3．下列对应是从集合A到集合B映射的是
①；
②；
③；
④.
A. ①② B.①③ C.③④ D.②④
4．已知则 .
5．已知在映射的作用下与对应，则在映射的作用下与 对应.
知识拓展 · 探究案
【合作探究】
1．函数的表示法——列表法与图象法
在一次国际比赛中某三名铅球运动员决赛的成绩如表(单位：m).
请根据上表探究下面的问题：
(1).上表反映了4个函数关系，这些函数的自变量是什么？定义域是什么？
(2).上述函数能用解析式表示吗？
(3).若想分析三名运动员的成绩变化情况，采用哪种方法恰当？
(4).在同一坐标系内画出上述函数的图象并完成下面的填空：
①从图形中分析甲运动员的成绩 .
②从图形中分析乙运动员的成绩 .
2．根据下面的提示，完成下面的问题：
(1)一次函数的解析式可设为 ；反比例函数可设为 ；二次函数的一般式可设为 .
(2)设出解析式后，如何求解析式？
3．若函数满足对任意有，此式子中的换为是否仍然成立？
4．分段函数
若某分段函数的解析式为，据其探究下列问题：
(1)此分段函数由几部分组成，它表示几个函数？
(2)根据有关的提示填空，明确分段函数具有的性质.
①由分段函数的概念知，此函数的定义域为 .
②若给定，则当时， ；当时， .
5．映射的判断
(1)观察上面的四组对应，思考下面的问题：
①四组对应中，集合A中元素在集合B中是否都有元素与之对应？
②对应(1)与其余三组对应有何不同？
③四组对应中哪些能构成从集合到集合的映射？
(2)从这几组对应中，你能发现映射有什么特点？
【教师点拨】
1．求函数解析式的三个关注点
(1)换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围.
(2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题.
(3)函数式中若含有自变量的对称形式，如：与或可通过构造对称方程求解.
2．对解析法的说明
利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，并不是所有的函数都可以用解析式表示，同时利用解析法表示函数要注明函数的定义域.
3．对列表法与图像法的说明
(1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性.
(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.
4．映射的四个特征
(1)确定性：集合、集合与对应关系是确定的一个整体.
(2)非空性：集合、集合都必须是非空集合.
(3)方向性：从集合到集合的映射与从集合到集合的映射是不同的映射.
(4)多样性：映射的对应方式可以是多对一，也可以是一对一.
5．处理分段函数的求值和作图象时的两个注意点
(1)分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值.
(2)分段函数的图象是由几段曲线构成，作图时要注意衔接点的虚实.
【交流展示】
1．已知,则
2．已知,求.
3．作出函数的图象,并说明该函数的图象与的图象之间的关系.
4．某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元,经试销调查发现,销售量(件)与销售单价(元)之间的关系可近似看作一次函数,其图象如图所示,求此函数的解析式.
5．设则的值为
6．若函数则 .
7．已知集合，集合，按照下列对应法则能构成集合到集合的映射的是
8．下列各个对应中，构成映射的是
【学习小结】
1．判断一个对应是否为映射的两点主要依据
(1)任意性：集合中每一个元素，在集合中是否都有元素与之对应.
(2)唯一性：集合中任一元素在集合中是否都有唯一的元素与之对应.
2．分段函数图象的特点及画法
(1)特点：分段函数的图象可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几条线段.
(2)画法：画分段函数的图象要分段画，当函数式中含有绝对值符号时，首先要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后再画图象.
3．分段函数求函数值的步骤及注意点
(1)步骤：
①确定要求值的自变量属于哪一段区间；
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.
(2)注意点：当出现的形式时，应从内到外依次求值.
4．列表法表示函数的使用范围及生活中的实例
(1)适用范围：列表法主要适用于自变量个数较少，且为有限个，并且自变量的取值为孤立的实数，同时当变量间的关系无规律时，也常采用列表法表示两变量之间的关系.
(2)生活中的实例：生活中经常见到的银行利率表、列车时间表、国民生产总值表等都是采用列表法.
5．图象平移变换的一般原则
(1)左右平移：的图象的图象.
(2)上下平移：的图象的图象.
6．作函数图象的三个步骤
7．求函数解析式的常见类型及解法
(1)已知类型：函数类型已知，一般用待定系数法，但对于二次函数问题要注意一般式：，顶点式：，两根式：的选择.
(2)已知型：解答已知求型问题可采用配凑法，也可采用换元法.
(3)函数方程问题，需建立关于的方程组，若函数方程中同时出现，则一般用代之；若同时出现，一般用代替，构造另一个方程.
提醒：求函数解析式时要严格考虑函数的定义域.
【当堂检测】
1．设函数若，则实数
2．在给定映射即的条件下，与中元素对应的中元素是
3．函数的图象为
4．判断下面的对应是否为集合到集合的映射
(1).对应关系.
(2)，对应关系 .
5．已知，若到的映射满足，求
满足的所有映射.
答案
课前预习 · 预习案
【自主学习】
1．数学表达式 图象 表格
2．非空 非空 对应关系f 任意一个 唯一确定 f:A→B
3．对应关系
【预习评价】
1．C
2．
3．C
4．2
5．(7，12)
知识拓展 · 探究案
【合作探究】
1．(1)自变量为投掷的次数；定义域为{1，2，3，4，5}.
(2)不能，因为自变量依次取值时，函数值的变化趋势不确定.
(3)采用图象法较好，因为图象比较直观形象.
(4)在同一坐标系内画出函数的图象如下，
①高于平均成绩②低于平均成绩，但成绩每次都有提升
2．(1)y＝kx＋b，k≠0 ，k≠0 y＝ax2＋bx＋c，a≠0
(2)①可将已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组；②解方程或方程组，求出待定系数的值；
③将所求待定系数的值代回到原式，即得函数的解析式.
3．因为对任意的x≠0有，而，所以将上式中的x换为仍然成立.
4．(1)此分段函数由两部分组成，它表示一个函数.
(2)①Ｄ1∪D2 ②f(x0) g(x0)
5．(1)①对于四组对应，集合A中的任何一个元素，按照某种对应关系，在集合B中都有元素和它对应.
②对应(1)中A中的元素在B中的对应元素不唯一，而对应(2)(3)(4)中A中的任何一个元素，通过对应关系，在B中都有唯一的元素和它对应.
③根据映射的概念，(2)(3)(4)组的对应可以构成从集合A到集合B的映射.
(2)(1)映射可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多.(2)集合B中可以有多余的元素，但集合A中不能有多余的元素.
【交流展示】
1．A
2．设,则,t≠1.则.所以f(x)＝x2－x＋1(x≠1).
3．,
作图过程：将的图象沿x轴向右平移1个单位,得到函数的图象,再将函数的图象向上平移2个单位,即可得到函数的图象,如图.
4．由图象知,当x＝600时,y＝400；当x＝700时,y＝300,代入y＝kx＋b(k≠0)中,得解得
所以y＝－x＋1000(500≤x≤800).
5．B
6．2
7．B
8．D
【当堂检测】
1．B
2．B
3．C
4．(1)集合A中元素6在对应关系f作用下为3，而3∉B，故对应关系f不是集合A到集合B的映射.
(2)在对应关系f作用下，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f是集合A到集合B的映射.
5．将式子f(a)－f(b)＝f(c)改为f(a)＝f(b)＋f(c)，由0＋0＝0，－1＋0＝－1，0＋(－1)＝－1，1＋0＝1，0＋1＝1，－1＋1＝0，1＋(－1)＝0知，满足条件的映射有：
1
2
3
4
2
3
4
1
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
运动员甲
20.61
21.31
20.47
20.78
21.36
运动员乙
18.10
18.25
19.05
19.15
19.70
运动员丙
19.77
19.33
20.17
20.54
19.75
平均成绩
19.49
19.63
19.90
20.16
20.27
A.
B.
C.
D.
A.10
B.11
C.12
D.13
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.-4或-2
B.-4或2
C.一2或4
D.-2或2
A.
B.或
C.
D.或
A.
B.
C.
D.