高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀学案

8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1　平面

知识点1　平面

1．一个平面能否把空间分成两部分？

[提示]　因为平面是无限延展的，所以一个平面能把空间分成两部分．

1．下列说法正确的是________．(填序号)

(1)平面的形状是平行四边形；

(2)任何一个平面图形都是一个平面；

(3)两个平面相交的画法中，一个平面被另一个平面遮住时，被遮部分的线段应画成虚线或不画；

(4)三角形、圆、平行四边形都可以表示平面．

(3)(4)　[(1)不正确．平面常用平行四边形表示，但不是平行四边形，平面是无限延展的．

(2)不正确．平面图形与平面是两个不同的概念，平面图形具有大小、面积等属性，而平面则没有，平面是无限延展的，不可度量的．

(3)正确．符合直观图画法的规则．

(4)正确．三角形、圆、平行四边形都是平面图形，都可以表示平面．]

知识点2　点、直线、平面之间的位置关系

2．如图，点A________平面ABC；点A________平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．

[答案]　∈　∉　⊂　BC

知识点3　平面的基本事实及推论

(1)基本事实：

(2)基本事实1的推论．

①　　　　　　②　　　　　　③

推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(图①)．

推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．

推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．

2．(1)如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？

(2)两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗？

(3)如果两个不重合的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？

[提示]　(1)这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，本公理强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表达存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词，也就是存在性和唯一性这两个方面的，这个术语今后学习中会经常出现．

(2)不能．要么没有公共点，要么有无数个公共点．

(3)这些公共点落在同一条直线上．

3．空间任意四点最多可以确定平面的个数是(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

D　[空间任意四点最多可以确定平面的个数是4，例如空间任意四点为三棱锥A­BCD的顶点时，可以确定平面ABC，平面ABD，平面ACD，平面BCD．]

类型1　立体几何三种语言的相互转化

【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形．

(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；

(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．

[解]　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．

(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．

三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．

(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：

(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．

[解]　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①．

(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②．

类型2　点、线共面问题

【例2】　如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α．

[解]　∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β．

∴直线a⊂β，点 P∈β．∵P∈b，b⊂α，∴P∈α．

又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α．

解决点线共面问题的基本方法

2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．

[解]　已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．

求证：直线AB，BC，AC共面．

证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α．

因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α．

因此直线AB，BC，AC都在平面α内，

所以直线AB，BC，AC共面．

法二：因为A不在直线BC上，

所以点A和直线BC可确定一个平面α．

因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB⊂α．同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．

法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，

所以A，B，C三点可以确定一个平面α．

因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，

同理BC⊂α，AC⊂α，

故直线AB，BC，AC共面．

类型3　点共线、线共点问题

【例3】　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β．

求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．

1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E．能否判断点E在平面A1BCD1内？

[提示]　如图，连接BD1，

∵A1C∩平面ABC1D1＝E，

∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1．

∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴E∈平面A1BCD1．

2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？

[提示]　由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线．

[证明]　因为梯形ABCD中，AD∥BC，

所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．

所以AB，CD必定相交于一点．

设AB∩CD＝M．

又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β．

所以M∈α∩β．

又因为α∩β＝l，所以M∈l．

即AB，CD，l共点(相交于一点)．

1．证明三点共线的方法

(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．

(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．

2．证明三线共点的步骤

(1)首先说明两条直线共面且交于一点．

(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．

(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．

3．三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝α，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点．

[证明]　如图，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ．

∵直线a和b不平行，∴a，b必相交．

设a∩b＝P，则P∈a，P∈b．

∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α．

又α∩β＝c，∴P∈c．

故a，b，c三条直线必相交于同一点．

1．下列空间图形画法错误的是(　　)

A　　　　B　　　　 C　　　　D

D　[遮挡部分应画成虚线或不画，故D错．]

2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)

A．A⊂a，a⊂α，B∈α

B．A∈a，a⊂α，B∈α

C．A⊂a，a∈α，B⊂α

D．A∈a，a∈α，B∈α

B　[点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α．]

3．下列说法正确的是(　　)

A．镜面是一个平面

B．一个平面长10 m，宽5 m

C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍

D．所有的平面都是无限延展的

D　[镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确，故选D．]

4．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．

3　[三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．]

5．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．

[证明]　因为P∈AB，AB⊂平面ABC，

所以P∈平面ABC．又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，

所以P∈直线DE．

所以点P在直线DE上．

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)如何用符号表示空间点、线、面的位置关系？

(2)3个基本事实的内容是什么？各有什么作用？

(3)基本事实1的3个推论是什么？有什么作用？

(4)如何证明点、线共面问题？

(5)如何证明点共线、线共面问题？