高端精品高中数学二轮专题-平行与垂直证明教案

平行与垂直证明

知识梳理.平行与垂直证明

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

3. 直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

题型一. 平行问题

考点1.线面平行

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：

（1）直线MN∥平面PAD；

2．如图所示四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一点，满足PE＝2EC．

（1）证明：PA∥平面BDE；

考点2.面面平行

3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1．

4．如图所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．

（1）求证：E、B、F、D1四点共面

（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．

考点3.线线平行

5．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．

（Ⅰ）证明：EF∥B1C；

6．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．

（1）求证：l∥BC．

（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．

题型二. 垂直问题

考点1.线面垂直

1．如图，已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M为线段AB的中点．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；

2．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC．

（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；

考点2.面面垂直

3．如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．

4．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

考点3.线线垂直

5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：PA⊥BD；

6．如图，四棱锥E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．

（Ⅰ）求证：AB⊥ED；

（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由．

题型三.存在性问题

1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．

（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；

（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；

（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．

2．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C、D的点．

（1）证明：DM⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且．

（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；

（2）若R是CD上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面B1C1BC？请给出证明．

题型四. 折叠问题

1．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P﹣ABCD，

（Ⅰ）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；

（Ⅱ）当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG．

2．如图，已知平面四边形ABCD中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4，将此平面四边形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接PA、PB，设PB的中点为E，

（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；

（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

3．如图甲，⊙O的直径AB＝2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB，∠DAB．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．P为AC的动点，根据图乙解答下列各题：

（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；

（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

题型五.平行与垂直选填综合

1．设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：

①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；

②若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n；

③若l∥α，且m∥α，则l∥m；

④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β．

则正确的命题个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

2．在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（　　）

A．5 B．8 C．10 D．6

3．已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE＝EB，BF＝FC，CHHD，AGGD，则下列说法错误的是（　　）

A．AC∥平面EFH 

B．四边形EFHG是梯形 

C．直线EG，FH，BD相交于同一点 

D．BD∥平面EFG

4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（　　）

A． B． C． D．

5．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN∥平面A1BD，则线段MN的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．

6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当△PMD的面积最小时，线段BC的长度为（　　）

A． B． C．2 D．

7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于　           　．

8．如图，棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，点O为MN中点，则O点的轨迹的长度是 　                　．

9．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，过点E作平面a，使得平面a∥平面AB1C，则平面a在正方体表面上截得的图形的周长为　            　．

10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为　           　．

课后作业. 平行与垂直证明

1．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．

（1）求证：l∥BC．

（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．

2．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1中点

（1）求证：BC1∥平面AB1D1

（2）求证：平面AB1D1∥平面C1BD．

3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1，D 是A1B1 中点．

（1）求证C1D⊥平面A1B；

（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．

4．如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，∠CDE＝60°，△ADE是边长为2的等边三角形．

（1）若F为AC的中点，求证：BF∥平面ADE；

（2）若AC＝4，求证：平面ADE⊥平面BCDE．

5．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．

（1）求证：OM∥平面ABD；

（2）求证：平面ABC⊥平面MDO；

（3）求三棱锥D﹣ABC的体积．

6．已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图所示．

（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）若棱锥E﹣DFC的体积为，求a的值；

（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．