沪教版高中二年级 第一学期8.4向量的应用导学案及答案

向量的应用

●知识梳理

理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力.

特别提示

许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点.

●点击双基

1.若O是△ABC内一点，++=0，则O是△ABC的

A.内心    B.外心    C.垂心    D.重心

解析：以、为邻边作平行四边形OBDC，则=+

又++=0，

∴+=－.

∴－=.∴O为AD的中点，且A、O、D共线.

又E为OD的中点，∴O是中线AE的三等分点，且OA=AE.

∴O是△ABC的重心.

答案：D

2.将椭圆x2+6y2－2x－12y－13=0按向量a平移，使中心与原点重合，则a的坐标是

A.（－1，1）        B.（1，－1）

C.（－1，－1）       D.（1，1）

解析：椭圆方程变形为（x－1）2+6（y－1）2=20.

需按a=（－1，－1）平移，中心与原点重合.

答案：C

3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（－1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为

A.3x+2y－11=0       B.（x－1）2+（y－2）2=5

C.2x－y=0        D.x+2y－5=0

解析：C点满足=α+β且α+β=1，∴A、B、C三点共线.∴C点的轨迹是直线AB.

答案：D

4.在四边形ABCD中，·=0，=，则四边形ABCD是

A.直角梯形   B.菱形    C.矩形    D.正方形

解析：由·=0知⊥.由=知BCAD.∴四边形ABCD是矩形.

答案：C

5.（2004年全国Ⅱ，理9）已知平面上直线l的方向向量e=（－，），点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是和A′，则=λe，其中λ等于

A.    B.－    C.2     D.－2

解析：如图所示，令e过原点，与e方向相反，排除A、C，验证D即可.

答案：D

●典例剖析

【例1】 已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，

（1）求t的值；

（2）求证：b⊥（a+tb）.

剖析：利用|a+tb|2=（a+tb）2进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能计算得b·（a+tb）=0，则证得了b⊥（a+tb）.

（1）解：设a与b的夹角为θ，则

|a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+t2|b|2+2a·（tb）=|a|2+t2|b|2+2t|a||b|cosθ=|b|2（t+cosθ）2+|a|2sin2θ，

所以当t=－cosθ=－=－时，|a+tb|有最小值.

（2）证明：因为b·（a+tb）=b·（a－·b）=a·b－a·b=0，所以b⊥（a⊥tb）.

评注：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便.

思考讨论

对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a+tb|2=（a+tb）2进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形.读者可尝试用后一方法解答本题.

深化拓展

【例2】 如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，·=2.

（1）求⊙C的方程；

（2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.

剖析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求⊙C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可.

解：（1）以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy.∵与的夹角为120°，故∠QCM=60°.于是△QCM为正三角形，∠CQM=60°.

又·=2，即||||cos∠CQM=2，于是r=||=2.

故⊙C的方程为x2+y2=4.

（2）依题意2c=4，2a=|QN|+|QM|，

而|QN|==2，|QM|=2，

于是a=+1，b2=a2－c2=2.

∴所求椭圆的方程为+=1.

评述：平面向量在解析几何中的应用越来越广，复习时应引起重视.

●闯关训练

夯实基础

1.（2004年辽宁，6）已知点A（－2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足·=x2，则点P的轨迹是

A.圆     B.椭圆    C.双曲线    D.抛物线

解析：=（－2－x，－y），=（3－x，－y），·=（－2－x）（3－x）+（－y）2=x2，整理得y2=x+6.∴P点的轨迹为抛物线.

答案：D

2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为

A.0.5 h    B.1 h    C.1.5 h    D.2 h

解析：台风中心移动t h，城市B处在危险区，则（20t）2+402－2×20t×40×cos45°≤900.

∴－≤t≤+.∴B城市处在危险区的时间为1 h.

答案：B

3.在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_______.

解析：如图，AD=DC=20.

∴BD=ADtan60°=20.

∴塔高为20（1+） m.

答案：20（1+） m

4.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶.

解析：如下图，为使小船所走路程最短，v水+v船应与岸垂直.又v水==1， v船==，∠ADC=90°，∴∠CAD=45°.

答案：与水速成135°角的

5.如图，△ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）.

证明：设=m，=b，=c，则m=，m·m=·

=b2+b·c+c2

=AB2+AC2+AB·AC·cos∠BAC

=AB2+AC2+AB·AC·

=AB2+AC2+（AB2+AC2－BC2）.

∴AM2=AB2+AC2－BC2.

又∵BC2=4BM2，

∴AB2+AC2=2（AM2+BM2）.

6.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.（忽略绳子重量）

解：设A、B处所受力分别为f1、f2，10 N的重力用f表示，则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则=f1，=f2，=f，则∠ECW=180°－150°=30°，

∠FCW=180°－120°=60°，∠FCE=90°.

∴四边形CEWF为矩形.

∴||=||cos30°=10·=5，

｜｜=||cos60°=10×=5.

∴A处受力为5 N，B处受力为5 N.

培养能力

7.已知A（4，0），N（1，0），若点P满足·=6||.

（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；

（2）求||的取值范围；

（3）若M（－1，0），求∠MPN在［0，π］上的取值范围.

解：（1）设P（x，y），=（x－4，y），=（1－x，－y），=（－3，0），∵·=6||，

∴－3（x－4）=6，即3x2+4y2=12.

∴=1.∴P点的轨迹是以（－1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆.

（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P（x0，y0），P到右准线的距离为d，d=4－x0，=e=，|PN|=d=.∵－2≤x0≤2，∴1≤|PN|≤3.

当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（－2，0）.

（3）令|PN|=t（1≤t≤3），

则|PM|=4－t，|MN|=2，

cos∠MPN==

=－1+.

由1≤t≤3，得3≤t（4－t）≤4，

∴≤cos∠MPN≤1.∴0≤∠MPN≤.

8.如图，已知△ABC的顶点坐标依次为A（1，0），B（5，8），C（7，－4），在边AB上有一点P，其横坐标为4，在AC上求一点Q，使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分.

解：设P分的比为λ1，则

4=λ1=3，

即=3，=.

又

=·=，

∴=，即=2.

设λ2=，则λ2=2.∴xQ==5，

yQ==－.∴Q（5，－）.

探究创新

9.如下图，已知△OFQ的面积为S，且与的数量积等于1，

（1）若＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；

（2）设||=c（c≥2），S=c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程.

解：（1）tanθ=2S.又∵＜S＜2，

∴1＜tanθ＜4.∴＜θ＜arctan4.

（2）以O为原点，所在直线为x轴建立坐标系，

设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

点Q（x1，y1），则=（x1－c，y1）.

又∵△OFQ的面积为||·y1=c，

∴y1=.又由·=1，解得x1=c+.

||==（c≥2）.

设f（c）=c+，则（c）=1－=.

当c≥2时，（c）＞0，∴f（c）在［2，＋∞）上递增，∴当c=2时，||最小，

此时Q（，），由此可得

a2=10，b2=6.

∴椭圆方程为=1.

●思悟小结

向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛.

●教师下载中心

教学点睛

教材中安排了解三角形应用举例和实习作业，根据新教材突出应用这一显著特点，教学中应充分利用这些素材，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，渗透数学建模思想，培养学生分析、解决实际问题的能力.

拓展题例

【例1】已知a=（x2，x），b=（x，x－3），x∈［－4，4］

（1）求f（x）=a·b的表达式；

（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角.

解：（1）f（x）=a·b=x2·x+x·（x－3）=x3+x2－3x，x∈［－4，4］.

（2）（x）=x2+2x－3=（x+3）（x－1）.

列表：

故当x=1时，f（x）有最小值为－.

此时a=（，1），b=（1，－2）.

设θ为a与b的夹角，则cosθ==－.

又由θ∈［0，π］，得θ=.

【例2】 如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量）

分析：先进行受力分析，列出平衡方程，然后用数学方法求解.

解：设所求物体质量为m kg时，系统保持平衡，再设F1与竖直方向的夹角为θ1，F2与竖直方向的夹角为θ2，则有

（其中g为重力加速度）.

由①式和②式消去θ2，得

m2－8mcosθ1+12=0，

即m=4cosθ1±2.            ③

∵cosθ2＞0，由②式知，③式中m=4cosθ1－2不合题意，舍去.

又∵4cos2θ1－3≥0，解得≤cosθ1≤1.

经检验，当cosθ1=时，cosθ2=0，不合题意，舍去.

∴2＜m＜6.

综上，所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时，系统可保持平衡.

评注：（1）m的范围是通过函数y=4x+2的单调性求得的.（2）实际问题的处理要注意变量的实际意义，本题容易忽略cosθ2＞0的实际限制.