高中数学沪教版高中三年级 第一学期第16章 排列组合和二项式定理综合与测试教学设计

16.4排列组合综合应用(4)

一、          教学内容分析

本节内容是学生学习了：计数原理——加法原理与乘法原理，排列与排列数；组合与组合数之后的内容，学生对排列组合知识已经有了初步的认识，同时也掌握了简单的排列组合问题.因此本节内容的安排旨在：对先前所学内容的进一步加深与整合，使学生在掌握了简单排列组合问题的基础上也能处理一些复杂的排列组合问题.本节内容的教授是对这部分内容的总结与提升.本节内容分两节课讲授.

二、          教学目标设计

1. 掌握解排列组合问题的步骤，掌握这一过程中：合理分类，准确分步，不重不漏的原则；

2. 体会在解决排列组合问题的过程中，对问题的观察、分析、类比、归纳的研究方法；

3. 通过对排列组合实际问题的解决，提高学习数学的兴趣.

三、          教学重点及难点

重点：解排列组合题的步骤

难点：1. 分清“元素”与“位置”

      2. 掌握“分类”与“分步”，避免“重复”与“遗漏”

四、          教学用具准备

    多媒体设备

五、          教学流程设计

六、            教学过程设计

(一)、复习引入

复习前一节课讲的排列组合综合题的基本类型.

这节课我们就要从步骤过程上入手，进一步分析排列组合题的解.

  (二)、新课

1. 步骤：

例1. 有六种不同工作分配给6人担任，每个人只担任一种工作，且甲不能担任其中某两种工作，问有几种方法？

解法1：（先考虑有特殊要求的元素）先满足特殊元素甲，甲能担任的工作有4种，先分配甲，分配后，余下工作由其余5人分担，有种分担方法，故共有分配方法数4=4×5！=480.

解法2：（先考虑有特殊要求的位置）先满足特殊“位置”（甲不能担任的某两种工作），由先除甲之外的5人中任选2人分别担任甲不能担任的某两种工作，有种方法，再由其余4人（含甲）来分担余下四项工作，有种方法，故共有分配法数==（5×4）4！=480

[改变]：可将原题的限制条件加上附加条件为“而乙只能担任该两项工作”，那么分配方法有几种？

解法1：4×2×=8×24=192（种）

解法2：=192（种）

（这里表示先由乙和除甲、乙外的4人中任选1人分担甲不能担任的某两项工作，余下的四项工作包括甲在内的4人分担，有种）

引导学生总结：

i).  分清“元素”与“位置”

ii). 分析元素与位置的特殊情形，满足“特殊优先，一般在后”

iii). 判断排列还是组合

例2. 已知集合A和集合B各含12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面的两个条件的集合C的个数：

（1），且C中含有3个元素；

（2）

分析：由题意知，属于集合B而不属于集合A元素个数为12－4=8，因此满足条件（1）、（2）的集合C可分三类：第一类：含A中一个元素的集C有个；第二类：含A中两个元素的集C有个；第三类：含A中三个元素的集C有个.故所求集C的个数是＋＋=1084.

例3.  2名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法共有（    ）

A.6种      B.12种   C.18种      D.24种

分析：完成分配方案可分两步，先从2名医生中各取1名分配到两所学校有C种，再从4名护士中各取2名分到两所学校有C种，由乘法原理知分配方案有=12（种），选B. .

引导学生总结：

iv). 合理分类，准确分步，不重不漏

即：解排列组合题的步骤：

i).  分清“元素”与“位置”

ii). 分析元素与位置的特殊情形，满足“特殊优先，一般在后”

iii). 判断排列还是组合

iv). 合理分类，准确分步，不重不漏

2. 由上可知：解决排列组合问题首先必须分清元素与位置，及是排列问题还是组合问题；其次，分析求解过程要注意掌握处理排列与组合问题的基本思想，即按元素（或位置）的性质分类或按事件发生过程分步.

例4：在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手之间恰好一场比赛1场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出比赛，这样全部比赛只进行了50场，那么，上述3名选手之间的比赛场数是多少场？

分析：由于3名选手之间最多有=3场比赛，最少有0场比赛，所以应分0，1，2，3四种情况分类讨论.

解：设所有选手为n个

1）、若比赛0场，则总的比赛场次为：3名选手与其余选手比赛6场，其余n－3名选手之间比赛场，

则+6=50

即n2－5n－82=0.

∵此方程无正整数解，故舍去；

2）、若比赛1场，则总的比赛场次为：3名选手中有两人之间比赛一场，这两人与其余选手各赛一场，第三人与其余选手比赛2场，其余n－3名选手之间比赛场.

则+5=50

即: n2－5n－84=0

解得n=12或n=－7（舍去）

3）、若比赛2场，则总的比赛场次为：

+4=50

即：n2－5n－86=0

∵此方程无正整数解，故舍去.

4）、若比赛3场，则总的比赛场次为：

+3=50

即n2－5n－88=0

∵此方程无正整数解，故舍去.

综上所述，3名选手之间的比赛的场数是1场.

在解排列组合问题时的分类分步这一步骤时：我们应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确（每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集），分步层次清楚，从而达到不重不漏.

3. 课堂练习：

(1)．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字.

（1）可以组成多少个六位数？ （2）可以组成多少个四位奇数？

（3）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个？

（4）可以组成多少个能被3整除的四位数？ 

（5）可以组成多少个大于324105的六位数？

解：（1）从特殊元素0入手，0不能排在十万位，0有种排法，剩下的5个数字可排在5个数位下，有种，故可组成=600个六位数.

从特殊位置十万位入手，有种排法，剩下的五个位置有种，故可组成=600个六位数.

六个数字可组成个“六位数”（其中包括0在十万位的情形），而0在最高位上的“六位数”应扣除，有个，故共有-=600个六位数.

（2）从特殊位置入手，个位上有种排法，首位上有种排法，中间两位上有种排法，故共有=144个；

从特殊元素入手，可分为两类，含数字0的有个，不含有数字0的有个，故共有四位奇数+=144个.

间接法， 个位是奇数的数共有个，其中不合条件的（0在首位）有个，故符合条件的四位奇数共有-=144个.

（3）分类：如果有0，则0可排在个位或十位有2种，其余5个数字可排在二个数位上有种，所以有个三位数；如果无0，则2、4中可选出1个有2种，再从其余3个奇数中选出2个有种，然后将3个数字全排列有种，所以有2=36个二位数，如果无0，则2、4中可选出2个有1种，再从其余3个奇数中选出1个有3种，然后将3个数字全排列有种，所以有个三位数，共有个.

三位数共有个，但其中三个数字都不是偶数即均为奇数的有个，故至少含有一个偶数的三位数有-=94个.

（4）一个整数能被3整除的充要条件是它的各位数字之和是3的倍数，符合条件的有5组数：0、1、2、3；0、2、3、4；0、3、4、5；0、1、3、5；1、2、4、5；前4组每组组成的四位数各有个，后一组组成的四位数有个，故可组成能被3整除的四位数有个.

（5）采用间接法，六位数共有个，不大于324105的数列如①3240××有2个；②321×××与320×××有个；③31××××与30××××有个；④324105 1个；⑤2×××××与1×××××有个，所以满足条件的六位数共有个.

采用加法，符合条件的是形如①5×××××和4×××××的数有个；②35××××和34××××的数有个；③325×××的数有个；④3245××的数有个，还有1个324150，故符合条件的六位数共有

个.

(2). (步中有类)

 一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有     种.

解：先考虑作物A种植在第一垄时，作物B有3种种植方法；再考虑作物A种植在第二垄时，作物B有2种种植方法；又当作物A种植在第三垄时，作物B有1种种植方法.而作物B种植的情况与作物A相同，所以满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2=12种.

(3). (类中有步)

6个不同的小球放人三个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个，有几种方法？

分析：在本例中，既耍考虑每个盒子到底放几个小球，还要看哪几个小球放人该盒子，既要选小球，又要选盒子．这就是常见的排列组合综合问题．

第一步，是将“6个不同的小球分成三堆（组）”，这其中涉及组合，分成三堆后，将“这三堆分别放人三只不同的盒子”，这是排列问题，因为这三堆小球各不相同．因此本例可在例3的基础上完成：N＝=540种（不同的分法）．

第一类：三个盒子内小球的数量分别为4，1，1．先从6个不同的小球中选出4个小球，看成一件物品，它和剩下两个小球可看作三件物品，分别放人三个不同的盒子，有种；

第二类：三个盒子内小球的数量分别为3，2，1．先从6个不同的小球中选出3个，再从剩下三个小球中选出2个小球，选好后分

别放人三个不同的盒子，有种；

第三类：三个盒子内小球的数量分别为2，2，2，有种.

共有=540（不同分法）．

  (三)、小结

(略)

  (四)、布置作业

(略)

七、          教学设计说明

如果说16.4排列组合综合应用（3）是从内容角度来分类的话，那么16.4排列组合综合应用（4）是从解题的过程角度将它分为如下四个步骤：i).  分清“元素”与“位置”；ii). 分析元素与位置的特殊情形，满足“特殊优先，一般在后”；iii). 判断排列还是组合；iv). 合理分类，准确分步，不重不漏.同时也强调了此处的难点——如何分类才能做到不重不漏——按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确（每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集），分步层次清楚，从而达到不重不漏.

    本节课从教法上讲主要还是以讲授为主，例题的挑选注重层次分明，由浅入深，希望给学生最大的发挥空间，引导学生发现问题，帮助他们解决问题，体现以学生为主体的理念.本节课中的例题和课堂练习教师可根据学生的实际选用.