沪教版高中二年级 第一学期7.1数列教学设计及反思

第一课时   4.1  数学归纳法

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.

教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.

教学过程：

一、复习准备：

1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.

  回顾：数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

2. 练习：已知，猜想的表达式，并给出证明？

   过程：试值，，…，→ 猜想  → 用数学归纳法证明.

3. 练习：是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立，试证明你的结论.

二、讲授新课：

1. 教学数学归纳法的应用：

①     出示例1：求证

分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？

关键：在假设n=k的式子上，如何同补？

小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.

② 出示例2：求证：n为奇数时，xn+yn能被x+y整除.

分析要点：（凑配）xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2(xk+yk)+y2·yk－x2·yk

=x2(xk+yk)+yk(y2－x2)=x2(xk+yk)+yk·(y+x) (y－x).

③ 出示例3：平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.

分析要点：n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2.

2. 练习：

① 求证: （n∈N*）.

② 用数学归纳法证明：

   （Ⅰ）能被264整除；

   （Ⅱ）能被整除（其中n，a为正整数）

③ 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.

三、巩固练习： 1. 练习：教材50   1、2、5题    2. 作业：教材50 3、4、6题.

第二课时   4.2  数学归纳法

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.

教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.

教学难点：理解经典不等式的证明思路.

教学过程：

一、复习准备：

1. 求证：.

2. 求证：.

二、讲授新课：

1. 教学例题：

① 出示例1：比较与的大小，试证明你的结论.

  分析：试值 → 猜想结论 → 用数学归纳法证明

→ 要点：….   小结：试值→猜想→证明

② 练习：已知数列的各项为正数，Sn为前n项和，且，归纳出an的公式并证明你的结论.

  解题要点：试值n=1, 2,3,4， → 猜想an → 数学归纳法证明

③ 出示例2：证明不等式.

   要点：

④ 出示例3：证明贝努利不等式.

2. 练习：试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn.

解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=, c=bq (q＞0且q≠1). ∴ an+cn=….

当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证＞()n  (n≥2且n∈N*).

…. 当n=k+1时，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)

=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1

3. 小结：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩.

三、巩固练习：

1. 用数学归纳法证明： .

2. 已知.

3. 作业：教材P54  3、5、8题.