高中数学湘教版必修12.1指数函数学案

指数函数导学案  

【学习导航】

学习要求：

1、巩固指数函数的图象及其性质；

2、掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数性质；

【互动探究】

一、          复合函数的定义域与值域

例1、求下列函数的定义域与值域。

(1)y=；

(2)y=；

(3)y=

二、利用复合函数单调性来解题例2、求函数y=的单调区间。

点评：y=a的单调性由a和u=f(x)两函数在相应区间上单调性确定的，遵循“同增异减”法则。

三、利用图象的性质比较大小

例3、已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，根据图象判断[f(x1)+f(x2)]与f()的大小，并加以证明。

四、分类讨论思想在解题中的应用

例4、已知f(x)=(ex－a)+ (e－x－a)(a0)。

（1）    f(x)将表示成u= 的函数；

（2）    求f(x)的最小值

思维分析：平方展开重新配方，就可以得到所求函数的形式；然后根据二次函数的知识确定最值。

点评：这是复合函数求最值问题，为了求得最值，通过换元转化为二次函数，再由二次函数在区间上的单调性确定最值。

【迁移应用】

1、求下列函数定义域和值域.

(1)y=；

(2)y=

2、求函数y=的单调区间.

3、已知f(x)=（a>0且a）

(1)求f(x)的定义域和值域；

(2)判断f(x)与的关系；

(3)讨论f(x)的单调性；

答案：

例1、解关于x的对数不等式；

2 loga (x－4)>loga(x－2).

思维分析：可以去掉对数符号，化为一般的代数不等式求解；同时考虑到底数a的取值范围不确定，故应进行分类讨论。

解：原不等式等价于

(1)当a>1时，又等价于

解之，得x>6。

(2)当0<a<1时，又等价于

解之，得4<x<6.

综上，不等式的解集，当a>1时，为(6，+ ∞)；

当0<a<1时，为(4,6).

例2、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y).(1)证明f(1)=0；(2)求f(16)；(3)试证f(xn)=nf(x)，n∈N*.

思维分析：这显然是一个抽象函数。根据题目给定的三个条件，可以将对数函数y=log4x作为该函数的原型，从而找到问题的解决思路与方法。

(1)证明：令x=y=1，则得f(1)=f(1)+f(1)，故f(1)=0；

(2)解：令x=y=4，则有f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=1+1=2；

(3)证明：f(xn)=f(x·x·…·x)   (n个x)

=f(x)+f(x)+…+f(x)=nf(x)   (n个f(x))

例3: 已知：在上恒有，求实数的取值范围。

分析：去掉绝对值符号，转化为含对数式的不等式。

【解】∵，∴当时，，由在上恒成立 ，得  在上恒成立，

∴，∴  （1）

当时，，由在上恒成立 ，得  在上恒成立，∴，

∴（2）

由（1）（2）可知，实数的取值范围为

思维点拔：

本题的特点是给出了自变量的取值范围，求字母的取值范围，它与解不等式有本质的区别，在上恒成立，是指在

上的所有值都大于1，这是一个不定问题，但转化为函数的最大（最小）值后，问题就简单了，这类问题的一般结论是：

（1）（为常数，）恒成立，

（2）（为常数，）恒成立，

利用这两个结论，可以把“不定”问题转化为“定”的问题。

1、解不等式

解答：{x|－1<x<－}∪{x|<x<1}

2、若函数f(x)满足f(x+y)+f(x－y)=f(x2－y2)，则f(x)可以是(    )

A.f(x)=2x   B.f(x)=x2   C.f(x)=log2x   D.f(x)=2x

解答：C

3、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，且对任意的x、y>0满足f()=f(x)－f(y)，当x>1时有f(x)<0，试判断f(x)的单调性并证明.

解答：f(x)在(0，+∞)上是减函数。证明略。

4、已知函数，

当时，恒成立，求实数的取值范围。

解：要使当时，恒成立，即要：当恒成立

令

（1）       当，即时，得

（2）       当，即时，得

   （舍去）

（3）       当，即时，得

   ∴

由（1）（2）（3）可知，实数的取值范围为。