高中数学苏教版必修2第2章 平面解析几何初步2.2 圆与方程2.2.1 圆的方程教案及反思

第一节 圆的方程（1）

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学习要求

1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；

2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；  

3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．

【课堂互动】

自学评价

1. 以为圆心，为半径的圆的标准方程：.

2. 圆心在原点，半径为时，圆的方程则为：；

3. 单位圆：圆心在原点且半径为１的圆；其方程为：．

注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径．

【精典范例】

例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：

⑴；　　　　

⑵

⑶

⑷

⑸

【解】（如下表）

点评：本题考察了对圆的标准方程的认识，根据圆的标准方程，可以写出相应的圆的圆心与半径．

例2：（１）写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上；

（２）求圆心是，且经过原点的圆的方程．

分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程．

【解】（１）∵圆心为，半径长为，

∴该圆的标准方程为：

．

把点代入方程的左边，

＝右边，

即点的坐标适合方程，

∴点是这个圆上的点；

把点的坐标代入方程的左边，

．

即点坐标不适合圆的方程，

∴点不在这个圆上．

（２）法一：∵圆的经过坐标原点，

∴圆的半径为：

，

因此所求的圆的方程为：

，

即．

法二：∵圆心为，

∴设圆的方程为，

∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程

即，所以，

∴所求圆的标准方程为：

．

点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法．

例3：（１）求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程；

（２）已知两点，，求以线段为直径的圆的方程．

分析：（１）已知与圆心坐标和该圆与轴相切即可求出半径．（２）根据为直径可以得到相应的圆心与半径．

【解】（１）∵圆与轴相切

∴该圆的半径即为圆心到轴的距离；

所以圆的标准方程为：

．

（２）∵为直径，

∴的中点为该圆的圆心即，

又因为

，所以，

∴圆的标准方程为：

．

点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用．

例４：已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？

分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，

关键

在于

写出

半圆的方程，

对应求出当

时的值，

比较得出结论．

【解】以某一截面半圆的

圆心为原点，半圆的直径

所在的直线为轴，

建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：

将代入得

，

即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道．

点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．

思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？

解：将代入得，

即限高为．

追踪训练一

1.写出下列各圆的方程：

（１）圆心在原点，半径为；

（２）经过点，圆心为．

【解】（１）；

（２）．

２．求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程．

【解】由题意：半径，

所以圆的方程为：．

３. 圆的内接正方形相对的两个顶点为，，求该圆的方程．

【解】由题意可得为直径，

所以的中点为该圆的圆心即

又因为

∴，

∴圆的标准方程为：

．

４．求过两点，，且圆心在

直线上的圆的标准方程．

【解】设圆心坐标为，圆半径为，

则圆方程为，

∵圆心在直线上，

∴        ①

又∵圆过两点，，

∴     ②

且    ③

由①、②、③得：，

∴圆方程为．

思维点拔：

由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程．在解具体的题目时，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识．