数学必修22.3空间直角坐标系教案及反思
展开第二章 平面解析几何初步
三节 空间直角坐标系
第16课时 空间直角坐标系
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.感受建立空间直角坐标系的必要性;
2.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;
3.感受类比思想在探索新知识过程中的作用.
【课堂互动】
自学评价
1.空间直角坐标系
从空间某一个定点引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴,这样就建立了一个空间直角坐标系.点叫做坐标原点, 轴、轴、轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为平面、平面和平面.
2.空间右手直角坐标系的画法
通常,将空间直角坐标系画在纸上时,轴与轴、轴与轴均成,而轴垂直于轴.轴和轴的单位长度相同,轴上的单位长度为轴(或轴)的单位长度的一半 .
3. 空间点的坐标表示
对于空间任意一点,作点在三条坐标轴上的射影,即经过点作三个平面分别垂直于轴与轴与轴,它们与轴与轴和轴分别交与.点在相应数轴上的坐标依次为,,,我们把有序实数对叫做点的坐标,记为 .
【精典范例】
例1:在空间直角坐标系中,作出点.
分析:可按下列步骤作出点,
【解】所作图如下左图所示:
例2:如上右图,已知长方体的边长为.以这个长方体的顶点为坐标原点,射线分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标.
【解】因为,点在坐标原点,即,且分别在轴、轴、轴上,所以它们的坐标分别为.
点分别在平面、平面和平面内,坐标分别为,.
点在三条坐标轴上的射影分别是点,故点的坐标为.
例3:(1)在空间直角坐标系中,画出不共线的3个点,使得这3个点的坐标都满足,并画出图形;
(2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.
【解】(1)取三个点.
(2)三点不共线,可以确定一个平面,又因为这三点在平面的同侧,且到平面的距离相等,所以平面平行于平面,而且平面内的每一个点在轴上的射影到原点的距离都等于3,即该平面上的点的坐标都满足.
追踪训练一
学生质疑 |
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教师释疑 |
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1.在空间直角坐标系中,画出下列各点:
答案略
2. 已知长方体的边长为.以这个长方体的顶点为坐标原点,射线分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标.
答案:,,,,,,,.
3.写出坐标平面内的点的坐标应满足的条件.
答案:平面上的点的坐标都为.
【选修延伸】
一、对称点
例4: 求点关于平面,平面及原点的对称点.
【解】在平面上的射影为在平面上的射影为,关于平面的对称点为关于平面及原点的对称点分别为、
点评:一般的,点关于平面的对称点为,关于平面的对称点为,关于平面的对称点为,关于原点的对称点
追踪训练二
1.写出分别在坐标轴、坐标平面上的点的坐标所满足的条件.
答案:
若点在轴上,则;
若点在轴上,则;
若点在轴上,则;
若点在平面上,则;
若点在平面上,则;
若点在平面上,则.
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