人教版新课标A选修1-12.1椭圆教案设计

第二课时  椭圆的简单几何性质

教学目标

1、进一步掌握椭圆的几何性质

2、理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的准线方程及准线的几何意义，进一步理解离心率的几何意义。

3、掌握用坐标法求曲线方程及由方程研究图形性质的方法。

4、培养分析问题和解决问题的能力

教学过程

1、复习回顾

前一节学习了椭圆的几何性质，大家回忆一下：

⑴椭圆的几何性质的内容是什么？

椭圆16x2＋9y2＝144中x、y的范围，长轴长，短轴长，离心率，顶点及焦点坐标。

－3≤x≤3，－4≤y≤4，长轴长2a＝8，短轴长2b＝6，离心率，

顶点坐标(0,－4),(0,4),(－3,0),(3,0)，焦点坐标

注意：椭圆的焦点一定在椭圆的长轴上。

⑵什么叫做椭圆的离心率？

e＝c/a

离心率的几何意义是什么呢？我们先来看一个问题：

点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：x＝a2/c的距离的比是常数e=c/a(a＞c＞0)，求点M的轨迹。

2、探索研究

(按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师书写)

解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合

由此得

将上式两边平方，并化简，得

(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)

设a2－c2＝b2,就可化成x2/a2＋y2/b2＝1，这是椭圆方程，所以点M的轨迹是长轴长为2a，长轴长为2b，焦点在x轴上的椭圆。

小结：

⑴椭圆的第二定义：当点M与定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e=c/a(0＜e＜1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

⑵对于椭圆x2/a2＋y2/b2＝1，相应于焦点F2(c,0)的准线方程是l：x＝a2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(－c,0)的准线方程是l：x＝－a2/c；对于椭圆x2/ b 2＋y2/ a 2＝1，相应于焦点F2(0,c)的准线方程是l：y＝a2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(0,－c)的准线方程是l：y＝－a2/c。

⑶离心率的几何意义是：椭圆上的点M与焦点F和它到准线l(与焦点F相对应的准线)的距离的比。

指导学生归纳知识一览表（见几何画板）

3、反思应用

例1　求椭圆4x2＋y2＝1的x、y的范围，长轴长，短轴长，离心率，焦点与顶点坐标，准线方程。

分析：－1/2≤x≤1/2,－1≤y≤1，2a＝2，2b＝1，顶点(0,±1),(±1/2,0),焦点，，

准线方程

例2　已知椭圆x2/100＋y2/36＝1上一点P到其左、右焦点距离的比为1∶3，求点P到两条准线的距离。

分析：由椭圆标准方程可知a＝10，b＝6，∴c＝8，e＝c/a＝4/5。

　　　∵|PF1|＋|PF2|＝20，|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝5，|PF2|＝15

设点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2,

根据椭圆的第二定义，有

∴d1＝|PF1|/e＝25/4，d2＝75/4。

变：⑴已知椭圆x2/100＋y2/36＝1上一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，求|PF1|、|PF2|。

　　分析：由椭圆标准方程可知a＝10，b＝6，∴c＝8，e＝c/a＝4/5，

左准线方程x＝－25/2，右准线方程x＝25/2，设点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2,则d1＝5－（－25/2）＝35/2，d2＝5－25/2＝15/2，∴|PF1|＝ed1＝14，|PF2|＝6。

    小结：点P(x0,y0)是椭圆x2/a2＋y2/b2＝1上的一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2，则d1＝a2/c＋x0, d2＝a2/c－x0,|PF1|＝ed1＝a＋ex0，|PF1|＝ed2＝a－ex0。

　　　　⑵已知椭圆x2/100＋y2/36＝1内有一点P(2，－3), F2为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使

的值最小，求点M的坐标。

　　分析：设M在右准线l上的射影为M1，

由椭圆标准方程可知

　　a＝10,b＝6,∴c＝8,e＝c/a＝4/5,

由椭圆第二定义，有|MF2|/|MM1|=4/5,即|MF2|＝4|MM1|/5

∴|MP|＋|MF2|＝|MP|＋|MM1|，当M、P、M1三点共线时，

|MP|＋|MM1|有最小值。

过P作右准线的垂线y＝－3，由方程组，解得

例3　求中心在原点，长轴在x轴上，一条准线方程是x＝3，离心率为的椭圆方程。

解：设椭圆方程为，根据题意有

解得，

∴所求椭圆方程是

4、归纳总结

数学思想：数形结合、分类讨论、类比的思想、特殊到一般

数学方法：图象法、公式法、待定系数法、

知识点：范围、顶点、对称性、离心率、椭圆第二定义、焦半径

5、作业　　P103　习题8.2　8、9、10

　　预习：

⑴曲线参数方程的定义是什么？

⑵在椭圆的参数方程中，常数a、b的几何意义是什么？

⑶椭圆的参数方程化为普通方程的关键是什么？