数学人教版新课标B1.1.1算法的概念教学设计及反思

高一数学必修3导学案(教师版)      编号　　

教学过程：

一、〖创设情境〗

引例1：解二元一次方程组：

分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，

下面用加减消元法写出它的求解过程.

（可以让学生上黑板演练）

解：第一步，②-①×2得5y=3；                ③

第二步，解③得y=3/5；

第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5

第四步，得到方程组的解为

评注：1.以上求解的步骤就是解二元一次方程组的算法；

2本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法.

引例2：写出求方程组的解的算法.

解：第一步，②×a1  - ①×a2，得：           ③

第二步，解③得 ；

第三步，将代入①，得.

第四步，得到方程组的解为

上述步骤构成了解二元一次方程组的一个算法，我们可以进一步根据这一算法编制计算机程序，让计算机来解二元一次方程组.

二、〖新知探究〗

（一）算法概念

在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

说明：1． 算法一词出现于12世纪，指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程；

2．“算法”没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性的说明；

3．在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成；

4．算法的特点：

(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的；

(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可；

(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题；

(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法；

(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限是、事先设计好的步骤加以解决．

（二）典型例题

例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数．

(2)设计一个算法，判断35是否为质数．

算法分析：

（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2~6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．

根据以上分析，可写出如下的算法：

第一步，用2除7，得到余数1．因为余数不为0，所以2不能整除7．

第二步，用3除7，得到余数1．因为余数不为0，所以3不能整除7．

第三步，用4除7，得到余数3．因为余数不为0，所以4不能整除7．

第四步，用5除7，得到余数2．因为余数不为0，所以5不能整除7．

第五步，用6除7，得到余数1．因为余数不为0，所以6不能整除7．因此，7是质数．

（2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：

第一步，用2除35，得到余数1．因为余数不为0，所以2不能整除35．

第二步，用3除35，得到余数2．因为余数不为0，所以3不能整除35．

第三步，用4除35，得到余数3．因为余数不为0，所以4不能整除35．

第四步，用5除35，得到余数0．因为余数为0，所以5能整除35．因此，35不是质数．

探究：你能写出“判断整数是否为质数”的算法吗？

算法分析（一）：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：

第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步.

第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数.

算法分析(二)：对于任意的整数，若用表示中的任意整数，则“判断是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用除，得到余数.判断余数是否为0，若是，则不是质数；否则，将的值增加1，再执行同样的操作.这一操作一直要进行到的值等于为止.因此，“判断是否为质数”的算法可以写成：

第一步，给定大于2的整数.

第二步，令.

第三步，用除，得到余数.

第四步，判断“”是否成立.若是，则不是质数，结束算法；否则，将的值增加1，仍用表示.

第五步，判断“”是否成立.若是，则是质数结束算法；否则，返回第三步.

例2   写出用“二分法”求方程的近似解的算法.

算法分析：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，

第一步：令.因为，所以设x1=1，x2=2.

第二步：令，判断f（m）是否为0.若是，则m为所求；若否，则继续判断大于0还是小于0.

第三步：若，则x1=m；否则，令x2=m.

第四步：判断是否成立？若是，则x1、x2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步.

说明：按以上步骤，我们将依次得到课本第5页的表1-1和图1.1-1.于是，开区间（1.4140625，1.41796875）中的实数都是满足假设条件的原方程的近似解.

（三）随堂练习

写出解方程的一个算法.

分析：本题是求一元二次方程的解的问题，方法很多，下面分别用配方法、判别式法写出这个问题的两个算法.

算法一：

第一步：移项，得：；                      ①

第二步：①式两边同加1并配方，得：        ②

第三步：②式两边开方得：                    ③

第四步：解③得：

算法二：

第一步：计算方程的判别式并判断其符号： =22+4×3=16＞0；

第二步：将a=1，b=-2，c=-3代入求根公式.得：

思考：你能举出更多的算法的例子吗？与一般的解决问题的过程相比，你认为算法更重要的特征是什么？

三、〖归纳小结〗

本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时无论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言.

四、〖书面作业〗　教材第５页练习１，２.

1.任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.

算法步骤：

第一步：输入任意一个正实数r；

第二步：计算以r为半径的圆的面积：；

第三步：输出圆的面积S.

2.任意给定一个大于1的正整数n，设计一个算法求出n的所有因数.

算法步骤：

第一步：依次以2～（n-1）为除数去除n，检查余数是否为0.若是，则是n的因数；若不是，则不是n的因数；

第二步：在n的因数中加入1和n；

第三步：输出n的所有因数.

五、〖板书设计〗

六、〖教后记〗

1.

2.

七、〖巩固练习〗

1.写出求1+2+3+4+5+6的一个算法.

分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=进行，也可以根据加法运算律简化运算过程.

算法1：

S1：计算1+2得到3；

S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；

S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；

S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；

S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21.

算法2：

S1：取n=6；

S2：计算；

S3：输出运算结果.

算法3：

S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；

S2：计算3×7；

S3：输出运算结果.

解题反思：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作.

2.求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法.

算法1：

第一步，先求1×3，得到结果3；

第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；

第三步，再将15乘以7，得到结果105；

第四步，再将105乘以9，得到945；

第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果.

算法2：用P表示被乘数，i表示乘数；

S1  使P=1；

S2  使i=3；

S3  使P=P×i；

S4  使i=i+2；

S5  若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束.

解题反思：由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句.因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法.在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍.

3.写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）

算法如下：

S1    使i=1；

S2    i被3除，得余数r；

S3    如果r=0，则打印i，否则不打印；

S4    使i=i+1；

S5    若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束.

4.求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率的算法.

算法如下：

第一步：取x1= a1，y1= b1，x2= a2，y1= b2；

第二步：若x1= x2；

第三步：输出斜率不存在；

第四步：若x1≠x2；

第五步：计算；

第六步：输出结果.

5.写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法.

算法如下：

第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；

第二步：计算；

第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点(0,m)；

第四步：在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)；

第五步：计算S=；

第六步：输出运算结果.

6.写出解不等式x2-2x-3<0的一个算法.

算法如下：

第一步：x2-2x-3=0的两根是x1=3，x2=-1；

第二步：由x2-2x-3<0可知不等式的解集为{x | -1<x<3}.

解题反思：该题的解法具有一般性，下面给出形如ax2+bx+c>0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a>0）算法如下：

第一步：计算△= ；

第二步：若△>0，示出方程两根（设x1>x2），则不等式解集为{x | x>x1或x<x2}；第三步：若△= 0，则不等式解集为{x | x∈R且x}；

第四步：若△<0，则不等式的解集为R.