2020-2021学年第1章 算法初步1.4 算法案例教学设计及反思

1.3.2   算法案例---秦九韶算法

教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用.

教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计.

教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计. 

教学过程：

一、复习准备：

1. 分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大公约数.

2. 设计一个求多项式当时的值的算法. （学生自己提出一般的解决方案：将代入多项式进行计算即可）

提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法运算，5次加法运算. 优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.)

二、讲授新课：

1. 教学秦九韶算法：

① 提问：在计算的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算，然后依次计算，，的值，这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算）

② 结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果.

③ 更有效的一种算法是：

将多项式变形为：

，

依次计算，，，，

故. ――这种算法就是“秦九韶算法”. （注意变形，强调格式）

④ 练习：用秦九韶算法求多项式当时的值.

（学生板书师生共评教师提问：上述算法共需多少次乘法运算？多少次加法运算？）

⑤ 如何用秦九韶算法完成一般多项式的求值问题？

改写：.

首先计算最内层括号内一次多项式的值，即，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即，，，.

⑥ 结论：秦九韶算法将求次多项式的值转化为求个一次多项式的值，整个过程只需次乘法运算和次加法运算；观察上述个一次式，可发出的计算要用到的值，若令，可得到下列递推公式：. 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.

⑦ 练习：用秦九韶算法求多项式当时的值并画出程序框图.

2. 小结：秦九韶算法的特点及其程序设计

三、巩固练习：1、练习：教材P35第2题　　

四、作业：教材P36第2题