高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系一课一练

这是一份高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系一课一练，共5页。


1.PA垂直于正方形ABCD所在平面，连结PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )
①面PAB⊥面PBC ②面PAB⊥面PAD
③面PAB⊥面PCD ④面PAB⊥面PAC
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
解析：选A.易证BC⊥平面PAB，
则平面PAB⊥平面PBC；
又AD∥BC，
故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB，
因此选A.
2．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是( )
A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c
C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α
D．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a
解析：选C.C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面．故选C.
3．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n
B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
解析：选D.选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．故选D.
4.已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；
④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.
其中正确命题的序号有________．
解析：垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也成立，②错；a、b也可异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．
答案：①④
5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
6．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
证明：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，
所以EF∥AD.
又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，
所以直线EF∥平面ACD.
(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，
EF∥AD，所以EF⊥BD.
在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，
所以CF⊥BD.
因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，
EF与CF交于点F，
所以BD⊥平面EFC.
又因为BD⊂平面BCD，
所以平面EFC⊥平面BCD.
练习
1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
解析：选D.对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β.
2．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )
A．若a⊥b，a⊥α，则b∥α
B．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
解析：选D.A中，b可能在α 内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β.
3.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：选A.∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上．
4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )
A．PA＝PB>PC
B．PA＝PBC．PA＝PB＝PC
D．PA≠PB≠PC
解析：选C.∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴MA＝MB＝MC.
又∵PM⊥平面ABC，∴MA、MB、MC分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影．∴PA＝PB＝PC.应选C.
5．在二面角α－l－β的两个面α，β内，分别有直线a，b，它们与棱l都不垂直，则( )
A．当该二面角是直二面角时，可能a∥b，也可能a⊥b
B．当该二面角是直二面角时，可能a∥b，但不可能a⊥b
C．当该二面角不是直二面角时，可能a∥b，但不可能a⊥b
D．当该二面角不是直二面角时，不可能a∥b，也不可能a⊥b
解析：选B.当该二面角为直二面角时(如图)，若a⊥b，∵b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l，AB∩b＝A，
由eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥b,AB⊥α,a⊂α))⇒eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(b⊥a,AB⊥a,AB⊂β))⇒a⊥β⇒a⊥l.
这和a与l不垂直相矛盾．
∴不可能a⊥b.故A错误，
∴B正确．
6.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析：选C.
如图，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF.∴A正确．
由题设知BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE.
∴DF⊥平面PAE.∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正确．
7．已知m，n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：
①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；
③若n⊄α，m⊄α且n∥β，m∥β，则α∥β；
④若m，n为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.
则其中正确的命题是_______．(把你认为正确的命题序号都填上)
解析：依题意可构造正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，在正方体中逐一判断各命题易得正确的命题是②④.
答案：②④
8．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝eq \f(\r(3),2)AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．
解析：设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为eq \f(\r(3),2)a.
由PM⊥BC，
∴PM＝ eq \r((\f(\r(3),2)a)2－(\f(a,2))2)＝eq \f(\r(2),2)a.
连结PG并延长与AD相交于N点，
则PN＝eq \f(\r(2),2)a，MN＝AB＝a，
∴PM2＋PN2＝MN2，
∴PM⊥PN，又PM⊥AD，
∴PM⊥面PAD，
∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．
答案：无数
9.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：
①点H是△A1BD的中心；
②AH垂直于平面CB1D1；
③AC1与B1C所成的角是90°.
其中正确命题的序号是 .
解析：由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.
答案：①②③
10.(2010年南京模拟)如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
求证：(1)BC⊥A1D；
(2)平面A1BC⊥平面A1BD.
证明：(1)由于A1在平面BCD上的射影O在CD上，
则A1O⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，
则BC⊥A1O，
又BC⊥CO，A1O∩CO＝O，
则BC⊥平面A1CD，又A1D⊂平面A1CD，
故BC⊥A1D.
(2)因为ABCD为矩形，所以A1B⊥A1D.
由(1)知BC⊥A1D，A1B∩BC＝B，则A1D⊥平面A1BC，又A1D⊂平面A1BD.
从而有平面A1BC⊥平面A1BD.
11.如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点．
(1)求证：DF∥平面ABC；
(2)求证：AF⊥BD.
证明：(1)取AB的中点G，连结FG，可得FG∥AE，FG＝eq \f(1,2)AE，
又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴CD∥AE，CD＝eq \f(1,2)AE，
∴FG∥CD，FG＝CD，
∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，
CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，
∴DF∥平面ABC.
(2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，
F为BE中点，∴AF⊥BE，
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，
∴DF⊥AB，
又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，
∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD.
12.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．
(1)求证：B1D1∥面A1BD；
(2)求证：MD⊥AC；
(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
解：(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD.
而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，
所以B1D1∥平面A1BD.
(2)证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，
又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，
所以AC⊥面BB1D，
而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC.
(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D
取DC的中点N，D1C1的中点N1，连结NN1交DC1于O，连结OM.
因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，
所以BN⊥面DCC1D1.
又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.