人教版新课标B必修22.2.3两条直线的位置关系教案

两条直线的位置关系

●考试目标  主词填空

1.两直线平行的充要条件.

已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2且b1≠b2.

2.两直线垂直的充要条件.

已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1⊥l2k1·k2=-1.

3.两条直线的夹角.

设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为α，l1与l2的夹角为β，则tan，tan.

4.点到直线的距离.

点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.

5.两平行线间的距离.

两平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离d=

6.对称问题.

(1)P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为 (2a-x，2b-y).

(2)P(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点是

.

●题型示例  点津归纳

【例1】  已知两直线l1：x+m2y+6=0， l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.

【解前点津】  对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”.

【规范解答】  当m=0时， l1：x+6=0， l2：x=0l1∥l2，

当m≠0时，则化为斜截式方程：l1：y=-x-，l2：y=，

①当-≠即m≠-1，m≠3时， l1与l2相交.

②当，即m=-1时l1∥l2.

③当，即m=3时， l1与l2重合.

综上所述知：①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当m=-1或m=0时，l1∥l2，③当

m=3时， l1与l2重合.

【解后归纳】  判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论.

【例2】  求经过点P(2，3)且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为的直线方程.

【解前点津】  画图可知，所求直线有两条，选择应用夹角公式，

可“避免讨论”.

【规范解答】  |AC|==2，∵|AB|=在Rt△ABC中，

求出|BC|=1，则tan∠ABC=2.  设所求直线斜率为k，则=2解之：k=或.

∴x-2y+4=0，11x-2y-16=0为所求.

【解后归纳】  本题利用了图形的性质，重视利用数形结合的方法，从而发现解题思路.

【例3】  一条光线经过点P(2，3)，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1).

(1)求光线的入射线方程；

(2)求这条光线从P到Q的长度.

【解前点津】  先求出Q关于直线l的对称点Q′的坐标，从而可确定过Q，Q′的直线方程.

【规范解答】  (1)设点Q′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点，且QQ′交l于M点，∵k1=-1，∴kQQ′=1，∴QQ′所在直线方程为x-y=0.

由得M坐标为，又∵M为QQ′中点，故由

Q′(-2，-2).

设入射线与l交点为N，且P，N，Q′共线，得入射线方程为：

，即5x-4y+2=0.

(2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而：|NQ|=|NQ′|，

∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|=，

即这条光线从P到Q的长度是.

【解后归纳】  无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法.

【例4】  已知三条直线l1：2x-y+a=0(a>0)，直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是.

(1)求a的值；

(2)求l3到l1的角θ；

(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点l2的距离的；③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是∶；若能，求P点坐标；若不能，说明理由.

【解前点津】  求解本题用到三个公式：平行线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式，点到直线的距离公式.

【规范解答】  (1)由l2：2x-y-=0，∴l1与l2的距离d=，化简得：，∵a>0，∴a=3.

(2)由(1)，l1：2x-y+3=0k1=2，而k3=-1，∴tanθ==-3，

∵0≤θ≤π，∴θ=π-arctan3.

(3)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1， l2平行的直线L：2x-y+c=0上，

且，即c=或c=.

∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有：

，即：|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，∴x0-2y0+4=0，或3x0+2=0，由P在第一象限，∴3x0+2=0不可能，由方程组：

，舍去，     由

∴P即为同时满足三个条件的点.

【解后归纳】  (3)属于“存在性问题”的解答，往往从“假设存在入手”，推出某种结论(肯定的或否定的)，然后检验这种结论是否满足题设中的各条件.

●对应训练  分阶提升

一、基础夯实

1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a= (   )

A.-3          B. –6          C.-         D. 

2.点(0，5)到直线y=2x的距离是 (     )

A.         B.          C.          D.

3.已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，那么m值为(    ) 

A.-或-3          B.或3         C.或3        D.或-3

4.若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(    )

A. (-，+∞)       B.(-∞，2)     C.(- ，2)       D.(-∞，- )∪(2，+∞)

5.两条直线A1x+B1y+C1=0，及A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是(   )

A. A1A2+B1B2=0    B.A1A2=B1B2     C.=-1      D. =1

6.如果直线ax-y+2=0与直线3x-y-b=0关于直线x-y=0对称，那么，a、b值为(    )

A.a=，b=6        B. a=，b=-6   C. a=3，b=-2    D. a=3，b=6

7.过两直线y=-x+和y=3x的交点，并与原点相距为1的直线有(     )

A. 0条           B. 2条           C. 1条          D. 3条

8.对0<|θ|<的角θ，两直线l1：x-y·sinθ=cosθ与l2：x·cosθ+y=1的交点为(    )

A.在单位圆上                          B.在单位圆外 

C在单位圆内，但不是圆心              D.是单位圆的圆心

9.已知A(-3，8)和B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|最短，那么点M的坐标是(   )

A.(-1，0)          B.(1，0)          C.(，0)         D.(0， )

10.设直线l1：x·sinα+y·+6=0， l2：x+y·=0，α∈，则直线l1与l2的位置关系是(     )

A.平行          B.垂直             C.平行或重合     D.相交但不垂直

二、思维激活

11.直线l1：2x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值等于             .

12.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a=         c=         m=             .

13.两条平行直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，，各自绕A，B旋转，若这两条平行线距离最大时，两直线方程分别是            .

14.p，q满足2p-q+1=0，则直线px+2y+q=0必过定点          .

三、能力提高

15.已知直线l与点A(3，3)和B(5，2)的距离相等，且过两直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程.

16.直线l过点(1，0)，且被两平行线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，求直线l的方程.

17.求函数y=的最小值.

18.已知点A(4，1)，B(0，4)，试在直线l：3x-y-1=0上找一点P，使|PA|-|PB|的绝对值最大，并求出这个最大值.

第2课  两条直线的位置关系习题解答

1.B  由-=3即得a=-6.

2.B  直接利用公式计算.

3.C  k1=-2， k2=mtan得：|2m-1|=|m+2|解之即得.

4.C  解方程组

由.

5.A  当l1，l2分别与坐标轴垂直时，C答案不满足.

6.A  因直线ax-y+2=0关于直线y=x的对称直线为ay-x+2=0，故x-ay-2=0与3x-y-b=0重合，故==，∴a=，b=6.

7.B  交点P为(1，3)，单位圆的两条切线.

8.C  由x-ysinθ=cosθ且xcosθ+y=1，

∴x2+y2=<1，但x=y=0不成立.

9.B  因B关于x轴对称点为B′(2，-2)，则直线AB′的方程可求得为：2x+y=2令y=0得x=1.

10.B  两直线的斜率之积k1·k2=

又α∈，∴|sinα|=-sinα，∴k1·k2=-1，∴l1⊥l2.

11. 四边形对角互补时有外接圆，由于两坐标轴互相垂直，∴=-1m=-5.

12. a=10，c=-12，m=-2   两直线垂直，所以-=-1a=10，又两直线都过点(1，m)，

故.

13. AB的斜率kAB=，当两直线都与AB垂直时，平行线距离最大.

所求直线为：3x+y-20=0，3x+y+10=0.

14.由2p-q+1=0直线为px+2y+(2p+1)=0 (x+2)·p+(2y+1)=0，

令故定点为.

15.解方程组：得交点C(1，2)，

当A、B两点在l的同侧时， l∥AB，而kAB=，故l为：y-2=-·(x-1)，即：x+2y-5=0.

当A、B两点在l异侧时，则l过线段AB中点(4，)，由两点式知l方程为化之x-6y+11=0.

综上所述知，l的方程是：x+2y-5=0或x-6y+11=0.

16.如图所示，当l的斜率不存在时， l方程为x=1它与两平行线交

点为(1，3)和(1，-6)，其距为|3-(-6)|=9符合题意.

当l的斜率存在时，设l：y=k(x-1)，由

及，解得l与两平行直线的交点分别为

 .

故由=92，得：k=-故此时l：y=-(x-1)， 即4x+3y-4=0.

综上所述知，l的方程为：4x+3y-4=0或x=1.

17. y=

令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为：在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|+|PB|取得最小值，∵A关于x轴的对称点为A′(0，-1)，所以(|PA|+|PB|)min=|A′B|=.

18.如图所示，设B关于l的对称点为B′(x′，y′)，由

  解得B′(3，3)，直线AB′的方程为

即2x+y-9=0.

由，故所求P点坐标为(2，5)

此时||PA|-|PB||=||PA|-|PB′||=|AB′|=为所求.