2012-2013高二北师大数学选修2-2：第一节 归纳与类比 1.2 类比推理教学设计
展开第一章 推理与证明1.2类比推理
教学目标
1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；
2．掌握运用类比推理的一般步骤。会进行简单的类比推理。
3．了解归纳推理与类比推理的异同；
4． 理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；
5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。提高归纳、类比联想的能力。
重难点剖析
重点：掌握类比推理的特点与步骤；
难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；
教学过程
一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．例题分析
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc;
(3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质 | 球的性质 |
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 | 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆 |
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 | 与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大 |
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 | 球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 |
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 | 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 |
☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
例3如图，已知点是内任意一点，连结并延长交对边于，则（Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体，存在什么类似的结论
（Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。
分析：平面中的三角形可与空间的四面体进行类比，三角形内一点对应于四面体内一点，三角形的三个顶点类比四面体的四个顶点，三角形的三边类比四面体的四个面，于是可类比得到相应的结论（Ⅱ）；而证明，（Ⅰ）可用面积法，那么证明（Ⅱ）可类比使用体积法。
注意：本题不仅用类比得到一个新的性质，而且证明方法上也运用了类比的方法。
例3：结论（Ⅱ）：点是空间四面体内的任意一点，连结
并延长分别交面于点，
则有：
证明：设点到平面的距离分别为，则，
同理：；；
四式相加得：
变式练习1
若三角形内切圆半径为，三边长为，则三角形的面积；
根据类比思想，若四面体内切球半径为，四个面的面积为，
则四面体的体积 （试证明这两个结论）。
变式练习1：
例4在等差数列中，若，则有等式：
。类比上述性质，相应地，
在等比数列中，若，则有等式 成立。
分析：等差数列中“与首末两项等距的两项和相等”，等比数列中“与首末两项等距的两项积相等”，由此联想到等差数列的两项和可与等比数列的两项积类比。
解：结论：
变式练习2
由三角形的边的不等关系容易得到不等式：
类比上述不等式，对于数有类似的不等式吗？
若有写出来并对真假作出判断。
变式练习2：有！真。
例5 我们知道，“过圆心为O的圆外一点P作它的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，则∠POA=∠POB。”这个性质可以推广到所有圆锥曲线，请写出其中一个： 。
解：①过抛物线x2=2py（p＞0）外一点P作抛物线的两条
切线PA、PB（A、B为切点），若F为抛物线的焦点，
则∠PFA=∠PFB。
②过椭圆+=1（a＞b＞0）外一点P作椭圆的两条
切线PA、PB（A、B为切点）若F为椭圆的一个焦点，
则∠PFA=∠PFB。
③过双曲线-=1（a＞0，b＞0）外（两支之间）
一点P（P不在渐近线上）作双曲线的两条切线
PA、PB（A、B为切点），若F为双曲线的一个焦点。
⑴若A、B在同一支，则∠PFA=∠PFB。
⑵若A、B在不同一支，则PF平分∠AFP的邻补角。
点评：本题是平面几何中圆的性质与圆锥曲线性质的类比猜想，
直觉思维与合情推理是科学结论获得的有效手段。
解题的突破点在于弄清：过圆心为O的圆外一点P作它的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，
则∠POA=∠POB的含义。
学后反思
1．类比推理的特点
① 类比是从特殊到特殊的推理，是根据两类不同对象已具有的某些相似性质，而联想到它们在其他方面可能也有相似的性质，从而由一类对象的已知的某项性质，猜测出另一类对象也可能有此项相应的性质而得到一个明确的结论，类比结论有明显的猜想和创新的特性。所得的结论超越了前提所包容的范围；
② 类比所得的结论超越了前提所包容的范围，结论不一定真。
③ 类比的前提是两类对象之间有可比性，所谓可比性是指：它们之间有可以清楚定义的某些共同特征。而且两类对象之间的相似性质越多，类比所得的性质的可靠性越大；
2．类比推理的一般步骤
① 找出与自己所研究的对象具有可比性的一类对象（它们的相似性质越多越好）；
② 根据比较类对象的某项已知性质，猜测你所研究的对象也可能有类似的性质，从而得出一个相应的明确的结论（命题）；
③ 对所提出的命题进行检验。
3．类比推理的结论未必真，欲知真假需证明。
例 在平面上（都有正边形，而在空间对 （不是都有正面体。我们知道正多面体只有五种。
4．类比推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径：如：平面上的直线可以和空间的平面进行类比；向量与数可以类比；平面图形的面积与空间几何体的体积可以类比；等差数列与等比数列可以类比等等；
课堂练习1．平面内平行于同一条直线的两条直线平行，类比可得，在空间有（ ）
A．平行于同一直线的两直线平行；B．平行于同一直线的两平面平行；
C．平行于同一平面的两直线平行；D．平行于同一平面的两平面平行。
1、答案：D；
2．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则分别为（ ）
A．2005，2005；B．2006，2006；C．2005，2006；D．2006，2005。
2、答案：D；
3．在项数为（），公差为的等差数列中，偶数项和与奇数项和的差等于。类比可得：在项数为（），公比为的等比数列中， 。
3、答案：偶数项与奇数项的商为；
4．在正三角形中，三角形内的任意一点到三边的距离和为定值，类比这个性质，在空间相应的结论是 ，此命题是 （填：真或假）。
4、答案：空间四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，真；
5．由图（1）有面积关系：，则由图（2）有体积关系：＝ 。
5、答案：
6．设，类比课本中推导等差数列前项和公式的方法，求：
的值。
6、解：因为
，所以运用倒序相加法可求得和为：
