高中数学沪教版高中一年级 第二学期4.6对数函数的图像与性质导学案

6.3  函数的图像与性质（2）

【教学目标】

1、会用“五点法”画函数的图像.

2、通过画函数的图像，认识、理解、归纳函数的性质．

2、会用图像变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图像．

3、会求一些与函数相关的函数的振幅、周期、最值、单调区间等.

4、学会通过画图、观察、分析、类比、归纳等方法来探索问题，形成应用数形结合、分类讨论等数学思想分析问题、解决问题的能力，提高创新意识和创造能力．

【教学重点与难点】

函数的图像与性质；

函数的图像的变换顺序.

【教学过程】

引入：

1．函数y=Asinx，xR(A>0且A1)的图像与函数y=sinx，xR的图像关系？

函数y=Asinx，xR(A>0且A1)的图像可以看作把函数y=sinx，xR的图像上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的它的值域[-A, A]   最大值是A, 最小值是-A．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折。

2．函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图像与函数y=sinx，xR的图像关系？

函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图像，可看作把函数y=sinx，xR的图像上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期

3、讨论函数y＝sin(x＋)的图像与函数y=sinx的图像又是怎样的关系呢？

例题分析

例1.画出函数的图像

解：列表

描点画图：

通过比较，发现：

(1)函数y＝sin(x＋)的图像可看作把y=sinx图像上所有的点向左平行移动个单位长度而得到

(2)函数y＝sin(x－)的图像可看作把y=sinx图像上所有点向右平行移动个单位长度而得到

一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图像，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)

[说明]：y＝sin(x＋)与y＝sinx的图像只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换

例2画出函数y＝3sin(2x＋)的图像

解：(五点法)由T＝，得T＝π  列表：

描点画图：

这种曲线也可由图像变换得到：

即：y＝sinx                  y＝sin(x＋)

y＝sin(2x＋)                  y＝3sin(2x＋)

一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图像，可以看作用下面的方法得到：

先把正弦曲线上所有的点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)

另外，注意一些物理量的概念:

A ：称为振幅；T＝：称为周期；f＝：称为频率；

x＝0时的相位称为初相

[说明]：由y＝sinx的图像变换出y＝sin(ωx＋)的图像一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图像向左(＞0)或向右(＜0)平移｜｜个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图像

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换

先将y＝sinx的图像上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右（＜0）平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图像

例3：已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)其中｜｜＜的图像，那么

Aω＝，＝  Bω＝， ＝－

Cω＝2，＝    Dω＝2，＝－

解：由图可知，点(0，1)和点(，0)都是图像上的点将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sin＝1，即sin＝，又｜｜＜，∴＝

又由“五点法”作图可知，点(，0)是“第五点”，所以ωx＋＝2π，即ω·π＋＝2π，解之得ω＝2，故选C

[说明]：解此题时，若能充分利用图像与函数式之间的联系，则也可用排除法来巧妙求解.

解：观察各选择答案可知，应有ω＞0

观察图像可看出，应有T＝＜2π，∴ω＞1 ，故可排除A与B

由图像还可看出，函数y＝2sin(ωx＋)的图像是由函数y＝2sinωx的图像向左移而得到的      ∴＞0，又可排除D，故选C

例4.已知函数y＝Asin(ωx＋)在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为(     )

Ay＝2sin(3x－)  By＝2sin(3x＋)

Cy＝2sin(＋)  Dy＝2sin(－)

解：由题设可知，所求函数的图像如图所示，点(，2)和点(，－2)都是图像上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有：

解得    答案：B

[说明]：由y＝Asin(ωx＋)的图像求其函数式：

一般来说，在这类由图像求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正负，角的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中

课堂小结

本节课主要研究了由y＝sinx的图像变换出y＝sin(ωx＋)的图像的过程中的平移变换，及三个变换相互关系，它们的规律可概括如下：

两种方法殊途同归

作业：蓝面书