专练10（压轴题，解答题，10道）-2021-2022学年七年级数学上学期期末考点必练（人教版）

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专练10（压轴题，解答题，10道）(解析版）
1．如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，其中b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣8）2＝0．
（1）求a，b，c的值．
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：3AB﹣（2BC+AC）的值是否随着时间变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】（1）a＝﹣2，b＝1，c＝8；（2）不变，始终为﹣15；
【分析】
（1）利用|a+2|+（c﹣8）2＝0，得a+2＝0，c﹣8＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b＝1；
（2）根据路程＝速度×时间，以及两点间的距离公式分别表示运动后三个点表示的数，并计算AB，AC，BC的长，代入3AB﹣（2BC+AC）中求解即可．
【详解】
解：（1）∵|a+2|+（c﹣8）2＝0，
∴a+2＝0，c﹣8＝0；
解得a＝﹣2，c＝8，
∵b是最小的正整数，
∴b＝1；
（2）不变，为﹣15．
t秒后：A点表示的是数为：﹣2﹣t，
B点表示的是数为：1+2t，
C点表示的是数为：8+4t，
所以AB＝（1+2t）﹣（﹣2﹣t）＝3t+3，
BC＝（8+4t）﹣（1+2t）＝2t+7，
AC＝（8+4t）﹣（﹣2﹣t）＝5t+10，
∴3AB﹣（2BC+AC）
＝3（3t+3）﹣（4t+14+5t+10）
＝9t+9﹣9t﹣24
＝﹣15．
所以不变，始终为﹣15．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
2．如图，点A、B是数轴上的两个点，它们分别表示的数是和1．点A与点B之间的距离表示为AB．
（1）AB=．
（2）点P是数轴上A点右侧的一个动点，它表示的数是，满足，求的值．
（3）点C为6．若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间t（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】（1）3.（2）存在．x的值为3.(3)不变，为2.
【分析】
（1）根据非负数的性质和数轴上两点间距离即可求解；
（2）分两种情况讨论，根据数轴上两点间的距离公式列方程即可求解；
(3)先确定运动t秒后，A、B、C三点对应的数，再根据数轴上两点间的距离公式列方程即可求解．
【详解】
解：（1）∵点A、B是数轴上的两个点，它们分别表示的数是和1
∴A，B两点之间的距离是1-（-2）=3．
故答案为3．
（2）存在．理由如下：
①若P点在A、B之间，
x+2+1-x=7，此方程不成立；
②若P点在B点右侧，
x+2+x-1=7，解得x=3．
答：存在．x的值为3．
（3）的值不随运动时间t（秒）的变化而改变，为定值，是2.理由如下：
运动t秒后，A点表示的数为-2-t,B点表示的数为1+2t,C点表示的数为6+5t.
所以AB=1+2t-(-2-t)=3+3t.
BC=6+5t-(1+2t)=5+3t.
所以BC-AB=5+3t-3-3t=2.
【点睛】
本题考查了一元一次方程、数轴、非负数、两点之间的距离，解决本题的关键是数轴上动点的运动情况．
3．（1）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，若3A+6B的值与x的取值无关，求y的值．
（2）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．
若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．
【答案】（1）y＝2；（2）A＜B．
【分析】
（1）把A=2x2+3xy-2x-1，B=-x2-xy+1，代入3A+6B计算后，使x的系数为0即可；
（2）根据新定义的运算进行计算即可．
【详解】
解：（1）∵A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，
∴3A+6B
＝3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2﹣xy+1）
＝6x2+9xy﹣6x﹣3﹣6x2﹣6xy+6
＝3xy﹣6x+3
＝（3y﹣6）x+3，
∵与x的取值无关，
∴3y﹣6＝0，
即y＝2；
（2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b）＝，
B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b）＝＝3b+1，
∵3b﹣1＜3b+1，
∴A＜B
【点睛】
本题考查整式的加减，有理数的运算，理解新定义的运算是正确解答的关键．
4．方方和圆圆房间的窗户的装饰物如图中的阴影部分，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径部分分别相同）．求：
（1）方方房间窗户饰物的面积是　　，圆圆房间窗户饰物的面积是　　．
（2）若长方形窗户的长为a，宽为b，请分别说明他们的窗户能射进阳光的面积是多少（窗框面积不计）？并说明谁的窗户射进阳光面积较大？

【答案】（1），；（2）方方房间窗户饰物的面积＝ab﹣圆圆房间窗户饰物的面积ab﹣，圆圆房间窗户饰物的面积大．
【分析】
（1）根据两个房间的饰物图可知：方方房间的是半径为的两个圆，圆圆房间的是半径为的4个半圆，根据图形即可求出饰物面积
（2）第一个窗户射进的阳光的面积＝长方形面积﹣半径为的一个半圆的面积；第二个窗户射进的阳光的面积＝长方形面积﹣半径为的2个圆的面积．
【详解】
解：（1）方方房间窗户饰物的面积是：，
圆圆房间窗户饰物的面积是：，
故答案为：；；
（2）第一个窗户射进的阳光的面积为：
第二个窗户射进的阳光的面积为:
∵＞，
∴＜
∴第一个窗户射进的阳光的面积＜第二个窗户射进的阳光的面积．
【点睛】
本题考查列代数式,解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系.要能根据图形得到窗户射进的阳光的面积的计算公式．
5．如下图中的小正方形的大小相等，图1只有一个小正方形；图2是由4个小正方形构成的一个正方形；图3是由9个小正方形构成的一个正方形，…以此类推，每一个图形都是由小正方形构成的大正方形. 回答下列问题：

（1）图2比图1多________个小正方形，图3比图2多________个小正方形.
（2）图比图多________个小正方形（用含的式子表示）
（3）猜想________.
【答案】（1）3，5；（2）;（3）
【分析】
（1）利用减法运算可以得出结果；
（2）根据规律可知，图2比图1多3个小正方形，图3比图2多5个小正方形，图4比图3多7个小正方形，…可得出图比图多的小正方形的个数；
（3）根据（2）中规律可以得出结果.
【详解】
解：（1）4-1=3；9-4=5；
故答案为：3,5；
（2）图2比图1多3个小正方形，
图3比图2多5个小正方形，
图4比图3多7个小正方形，
…
可得出图比图多（）个小正方形；
（3）根据（2）的规律可得，
3=22-12，,5=32-22，7=42-32，…=n2-(n-1)2,
所以1+22-12+32-22+42-32+…+n2-(n-1)2=n2.
故答案为：n2.
【点睛】
本题考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．
6．某社区超市第一次总共用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价如表：

甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
（1）求该超市第一次购进乙种商品的件数？
（2）甲乙两种商品的售价如上表，若将第一次所购商品全部卖完后，一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原售价销售，乙商品在原售价上打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
【答案】（1）90件；（2）1950元；（3）9折
【分析】
（1）设第一次购进乙种商品x件，则甲种商品的件数是（2x-30）件，根据总进价为6000元列出方程，求解即可；
（2）根据（1）得甲种商品的件数是150件，根据题意列出方程求出其解即可；
（3）设第二次甲种商品的售价为每件y元，根据第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，建立方程求出其解即可．
【详解】
解：（1）设该超市第一次购进乙种商品x件数，则甲商品为2x-30件，
由题意可得：30x+22（2x-30）=6000，
解得：x=90，
∴该超市第一次购进乙种商品90件；
（2）由（1）得：该超市第一次购进甲种商品150件，
∴可获得的利润为：（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）．
答：两种商品全部卖完后可获得1950元利润；
（3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据题意列方程，得：
（29-22）×150+（40×-30）×90×3=1950+720，
解得：y=9，
答：第二次乙种商品是按原价打9折销售．
【点睛】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用及一元一次方程的解法的运用．解答时根据题意建立方程是关键．解题时注意利润=售价-进价的运用．
7．某超市第一次用3600元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品80件，乙种商品120件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为30元/件．(注：获利=售价﹣进价)
（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多260元，那么a的值是多少？
【答案】（1）该超市第一次购进甲种商品每件15元，乙种商品每件20元；（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1600元的利润；（3）a的值是5．
【分析】
（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件(x+5)元，根据题意列出方程求解即可．

（2）根据利润公式求出总利润即可．
（3）根据题意列出方程求解即可．
【详解】
（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件(x+5)元．
由题意得80x+120(x+5)=3600，
解得：x=15，
x+5=15+5=20．
答：该超市第一次购进甲种商品每件15元，乙种商品每件20元．
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润=80×(20﹣15)+120×(30﹣20)=1600元．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1600元的利润．
（3）由题意得80×[20(1+a%)﹣15]+120×[30(1﹣a%)﹣(20﹣3)]=1600+260，
解得：a=5．
答：a的值是5．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的销售问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
8．如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，当射线OQ达到OA后，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）分别求出当t＝5和t＝18时，∠POQ的度数；
（2）当OP与OQ重合时，求t的值；
（3）当∠POQ＝40°时，求t的值．

【答案】（1）80°，24°；（2）t＝15；（3）10或20
【分析】
（1）代入计算即可求解；
（2）根据角度的相遇问题列出方程计算即可求解；
（3）分两种情况：当0＜t≤15时；当15＜t≤20时；列出方程计算即可求解．
【详解】
解：（1）当t＝5时，∠AOP＝2t＝10°，∠BOQ＝6t＝30°，
∴∠POQ＝∠AOB﹣∠AOP﹣∠BOQ＝120°﹣10°﹣30°＝80°；
当t＝18时，∠AOP＝2t＝36°，∠BOQ＝6t＝108°，
∴∠AOQ＝120°﹣108°＝12°，
∴∠POQ＝∠AOP﹣∠AOQ＝36°﹣12°＝24°；
（2）当OP与OQ重合时，
依题意得：2t+6t＝120，
解得：t＝15；
（3）当0＜t≤15时，
依题意得：2t+6t+40＝120，
解得：t＝10，
当15＜t≤20时，
依题意得：2t+6t﹣40＝120，
解得：t＝20，
∴当∠POQ＝40°时，t的值为10或20．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．点O在直线AB上，射线OC上的点C在直线AB上，．

（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，点D在直线AB上方，∠AOD与∠BOC互余，OE平分∠COD，求∠BOE的度数；
（3）在（2）的条件下，点F，G在直线AB下方，OG平分∠FOB，若∠FOD与∠BOG互补，求∠EOF的度数．
【答案】（1）∠AOC=144°；（2）∠BOE =81°；（3）∠EOF =117°或171°
【分析】
（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，根据已知条件列方程即可得到结论；
（2）由余角的定义得到∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，根据角平分线的定义得到∠COE=∠COD=×90°=45°，于是得到结论；
（3）①根据角平分线的定义得到∠FOG=∠BOG，设∠BOG=x°，∠BOF=2x°，∠BOD=∠DOC+∠BOC=36°+90°=126°，根据比较的定义列方程即可得到结论；
②根据角平分线的定义得到∠FOG=∠BOG，推出D，O，G共线，根据角的和差即可得到结论．
【详解】
（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴α+4α=180°，
∴α=36°，
∴∠AOC=144°；
（2）∵∠AOD与∠BOC互余，
∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，
∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°，
∵OE平分∠COD，
∴∠COE=∠COD＝×90°=45°，
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=45°+36°=81°；
（3）①如图1，

∵OG平分∠FOB，
∴∠FOG=∠BOG，
∵∠FOD与∠BOG互补，
∴∠FOD+∠BOG=180°，
设∠BOG=x°，∠BOF=2x°，∠BOD=∠BOC+∠DOC =36°+90°=126°，
∵∠FOD=∠BOD+∠BOF，
∴126+2x+x=180，
解得：x=18，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=81°+2×18°=117°；
②如图2，

∵OG平分∠FOB，
∴∠FOG=∠BOG，
∵∠FOD与∠BOG互补，
∴∠FOD+∠BOG=180°，
∴∠FOD+∠FOG=180°，
∴D，O，G共线，
∴∠BOG=∠AOD=54°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=72°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-81°=99°，
∴∠EOF=∠AOF+∠AOE=72°+99°=171°．
【点睛】
本题考查了余角和补角，角平分线的定义，补角的定义，正确的识别图形是解题的关键．
10．如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　　；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°）
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．
②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？
【答案】（1）∠ACB＝145°；∠DCE＝40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由见解析；（3）①能；理由见解析，α＝54°；②23秒
【分析】
（1）由题意可得，重叠的部分就比90°+90°减少的部分，即当∠DCE＝35°时，∠ACB=180°﹣35°＝145°，当∠ACB＝140时°，∠DCE=180°﹣140°＝40°
（2）由于∠ACD＝∠ECB＝90°，则重叠的度数就是∠ECD的度数，所以∠ACB+∠DCE＝180°．
（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，利用∠ACB与∠DCE互补列方程解答即可；
②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，根据∠BCD+∠DCE＝90°，列方程解答即可．
【详解】
解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．
∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，
∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：145°，40°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，
理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．
（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，
∴设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，
∴4x+x＝180°
解得：x＝36°，
∴α＝90°﹣36°＝54°；
②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，
∵∠BCD+∠DCE＝90°，
∴3t+21＝90，
t＝23°，
答：当∠DCE＝21°时，转动了23秒．
【点睛】
本题考查了互补、互余的定义以及角的重叠等知识点，解决本题的关键是确定重叠部分的大小.