人教版新课标B选修2-12.2 椭圆教案设计
展开椭圆的标准方程
(说课稿)
一、教材分析
1、地位及作用
圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。
推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。
2、教学内容与教材处理
椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。
3、教学目标
根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下：
1.知识目标
①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，
②能根据已知条件求椭圆的标准方程，
③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。
2.能力目标
①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力，
②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力，
③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
3.情感目标
①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶，
②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，
③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
4、重点难点
基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：
①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法，
②难点：椭圆的标准方程的推导。
二、教法设计
在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。
三、学法设计
通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质。
四、学情分析
1.能力分析
①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，
②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。
2.认知分析
①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，
②学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解，
③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。
3.情感分析
学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。
五、教学程序
从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动，在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质。基于这一理论，我把这一节课的教学程序分成六个步骤来进行，下面我向各位作详细说明：
教 学 过 程 | 设 计 意 图 | ||||||||||||
1. 创设问题情境：
情境1 请同学们举出生活中椭圆形物体的实例 （展示一些椭圆形物体图片） 情境2 宿迁中学校园内一些椭圆形小花坛 （展示自拍图片）
问题1 施工时工人师傅是怎样砌建小花坛的？ （复习椭圆定义，动画演示） 问题2 宿迁中学新校区绿化、美化工作正在进行，准备在一块长10米、宽6米的矩形空地上建造一个椭圆形花园，要尽可能多地利用这块空地，请问：如何画这个花园的边界线？ （动画演示，书写课题）
| 问题情境的创设应有利于激发学生的求知欲。为了复习椭圆的定义，我设计如下两个学生熟悉的情境： 通过情境1，让学生感受到椭圆的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天体的运行轨道。
通过情境2和问题1，让学生主动思考如何画椭圆及椭圆的定义。
通过问题2，要求学生以小组为单位进行实验、观察、归纳、猜想、概括，激发学生探索的欲望和浓厚的学习兴趣，使学生的主体地位得到体现。
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2. 探求椭圆方程 回顾圆的方程的建立过程，首先是做什么？ （提问学生） 如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程呢？ （学生回答）
| 在学生复习圆的方程的建立过程的基础上，让学生讨论思考如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程，我想学生通过这些活动能够建立几种常见的坐标系，并列出相应的代数方程。我认为这样有利于培养学生的动手实验，分析比较，相互协作等能力。让学生体验到知识的产生过程。 | ||||||||||||
在不同建系下，列出关于x，y的等式。它们都含有两个根式，如何化简这种方程？（学生思考回答，师生共同比较选择）
| 由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算。为此，我首先启发学生如何去掉根号较好，让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力。 | ||||||||||||
法一 以两定点F1、F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图1）． 设为椭圆上的任意一点，设MF1+MF2=m，F1F2=n，（m >n>0） 则、． 由MF1+MF2=m得 移项得 平方得 整理得 再平方得 再整理得 所以 即 令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程化简可得
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在比较如何化简方程简单后，我选择放手让学生化简，让学生体验化简方程的艰辛，经受锻炼，尝试成功，提高学生参与教学过程的积极性。
为了让学生明白设常数2a、2c的合理性。我选择首先设常数m,n，然后以2a,2c替换，其目的是让学生体会到设2a,2c的合理性。
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结合图形，找出方程中a、c对应的线段． 如图，OF2=c，MF2=a， a与c可以看成Rt△MOF2的斜边和直角边．那么a2-c2就是另一直角边的平方，因此我们令b2=a2-c2（b>0）， 则方程变为（a＞b＞0） 由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面 这个方程；满足这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上。 所以，这个方程就是所求得椭圆的方程. 法二 以两定点F1、F2所在直线为x轴，F1为原点，建立直角坐标系（如图2）． 设为椭圆上的任意一点，设MF1 + MF2 =m, F1F2=n，m>n>0，则、． 由MF1+MF2=m得 类似第一种方法,移项后平方，整理可得
再平方，整理可得 所以 即 令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程为 令b2=a2-c2（b>0），则方程变为
通过比较可知，方程（a＞b＞0）更简洁。 把方程叫做椭圆的标准方程。
总结推导椭圆的标准方程的步骤： （1）建系——建立适当的坐标系 （2）设点 （3）列式 （4）化简 （5）证明
如果椭圆竖起放置，怎样建系？ 建立如图所示的直角坐标系，类似于刚才的推导过程可得椭圆的方程，过程留给同学们课后完成。 让学生猜想结论：（a＞b＞0），并说明理由。 教师从另一角度分析：得到方程的原始等式为 而焦点在y轴上时，由MF1+MF2=2a得 对比这两个等式，能发现什么结论？ 互换x，y 因此，焦点在y轴上的椭圆的方程为 由于这两种形式的方程都很简单，因此我们把这两种方程都叫椭圆的标准方程（其中b2=a2-c2） 3. 标准方程比较 （1）相同点 ①方程中x，y表示椭圆上任意一点的坐标； ②关于x，y的二元二次方程； ③方程右边是常数1，左边是平方和的形式； ④a是椭圆上的点到两焦点距离和的一半，b2＝a2-c2，c是焦距的一半； a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b与c大小不定 ⑤焦点位置的判定：焦点在较大分母对应的变量的坐标轴上 （2）不同点
4.初步运用知识 （1）若椭圆的焦距为8，a=5，那么它的标准方程是 （或） （2）已知椭圆的方程为，则 a＝___，b＝___，c＝___，焦点坐标为 ，与坐标轴交点坐标为 ，焦距等于 ；如果点P为该椭圆上一点，则PF1+PF2＝__ __（ F1，F2为焦点）. ( 总结： 定位 、 定量 待定系数法 )
| 这里我选择设b2=a2-c2（b>0）其作用是 首先美化方程：使方程简洁美、对称美、和谐美， 其次使b具有明显的几何意义：原点与椭圆和y轴的交点之间的线段长。
通过这两种方法所得到的椭圆方程的比较，让学生在比较中体会哪种方程更能反映椭圆的对称美，从而引出椭圆的标准方程。
在得到椭圆的标准方程之后，我和学生共同总结推倒椭圆标准方程的步骤，其目的是进一步强化求曲线方程的一般步骤，同时也让学生享受成功的喜悦。 对于焦点在y轴上的椭圆的标准方程的建立，我选择让学生在比较、分析、猜想得到。
在得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程过程中，考虑到学生对这一标准方程可能有怀疑的情绪，我选择引导学生回到建立方程的起始，让学生对比分析原来两个方程只是交换两个变量。
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5.课堂小结 1.推导椭圆的标准方程 2. 椭圆两种标准方程的比较 3椭圆的标准方程的基本求法及应用 4.自主探索，合作交流 （总结本课学习内容及学习方式）
| 为了让学生建构自己的知识体系，我让学生自己概括所学的内容。我认为这样既能培养了学生的概括能力，又能营造民主和谐的师生关系。
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6.课后作业布置 1.基础训练题：课本P28 1. 2. 2.动手操作题：课本P29 7（或用几何画板探求） 3.课后思考题：有关资料显示：“神舟六号”飞船的运行轨道是以地球的中心F2位一个焦点的椭圆。已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面200公里，远地点B (离地面最远的点) 距地面347公里，并且在F2、A、B同一直线上，地球半径约为6371km。你能计算出“神舟六号”飞船的轨道方程吗? (精确到0.01 km) （动画模拟演示） | 为了进一步巩固椭圆的标准方程，我布置如下作业：
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六、板书设计
我选择这样的板书设计，其目的是让学生清楚的认识到本节课的重要内容。
七、评价设计
1、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，充分利用教具演示，并运用“实验——猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理。我认为这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。
2、在教学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。
3、在创设情境、推导椭圆的标准方程的过程中，培养学生的实验、归纳能力，在辨析几种建系方法所得到方程的繁简，比较两个标准方程的特点过程中培养学生的分析、判别能力，在运用标准方程中，培养学生解决实际问题的能力；另外，通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习双曲线和抛物线作好辅垫。
以上是我对椭圆的标准方程的第一课时的构思与设计，欢迎各位专家批评指正。
谢谢！
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