数学选修2-13.1空间向量及其运算教学设计

这是一份数学选修2-13.1空间向量及其运算教学设计，共5页。教案主要包含了考点分析，课堂小结，知识整理，布置作业等内容，欢迎下载使用。

学情分析： 学生对数量积感念不清，只记住公式却不能灵活运用。
教学目标：1. 通过知识梳理，学生了解并理解空间的位置关系及数量积的意义。
2.通过例题分析，让大部分学生理解并掌握数量积的公式，学会灵活运用。
3.通过合作学习比较数量积和坐标解题的两种情况，建立良好的合作关系。让少部分学生理解并能够具体问题具体分析。.在比较学习中，学生感受数学多样化和生活中事物两面的多样化的异同。体会生活中的问题也可以用数学的思想去理解或者解决。
教学重点：1. 掌握数量积的定义，公式。
2.数量积的运用。
教学难点：会利用数量积解决简单的空间几何问题。
教学过程：
知识梳理
c1. 空间向量基本概念：
1.什么是向量？
2.比较平面向量
定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cs叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cs
平面向量数列积性质：设和b都是非零向量，则
1)、⊥ ·=0
2)、当与同向时，︱·︱=︱︱︱︱；当与反向时，
︱·︱= -︱︱︱︱， 特别地，·=︱︱2或︱︱=
3)、︱·︱≤︱︱×︱︱
C2. 空间两个向量a，b的数量积：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉，这里〈a，b〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a，b〉≤π)．
空间向量的数量积数量积的运算性质:
(1)利用a⊥b⇔a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．
(2)利用a·b＝|a|·|b|cs〈a，b〉，csθ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)，求两直线的夹角.
(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．
二、考点分析
知识点一 求两向量的数量积
C例题1. 如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为 a，
求·.

解 由题意知 | | = | | = | | = a，且〈，〉= 120°，〈 ，〉= 120°，
· =·（ ）
= ·· ,
= a2cs120°a2cs120°＝0

【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如〈，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝60°时，〈 ，eq \(CA,\s\up6(→))〉＝120°.

C练习1 ：已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点，试计算：
（1）· ；
（2）· ；
（3）· .
解 如图所示，设＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.

（1） · = b·［ （c a ）+b］= | b |2 = 42 = 16 ..
(2)· = （c a +b ）·（ a + c ）= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.
（3）· = [eq \f(1,2)(c－a)＋eq \f(1,2)b]·(eq \f(1,2)b＋a)＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)·(eq \f(1,2)b＋a)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,4)|b|2＝2.
知识点二 利用数量积求角
B例题2：
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
解 . 因,
所以 · =· ·
=||||cs〈 ，〉| | | | cs〈 , 〉
=8×4×cs135° 8×6×cs120°
所以cs〈,〉=eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|).
＝eq \f(24－16\r(2),8×5)＝eq \f(3－2\r(2),5).
即OA与BC所成角的余弦值为eq \f(3－2\r(2),5).
反思感悟:在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．
C练习2：在二面角α－l－β中，A，B∈α，C，D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点．
(1)求二面角α－l－β的大小；
(2)求证：MN⊥AB；
(3)求异面直线PA与MN所成角的大小．
知识点三 利用数量积证明垂直关系
B例3：如图所示，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，
求证：l⊥α .
证明 在α内作任一直线g，分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为m与n相交，所以向量m，n不平行．
由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn.
将上式两边与向量l作数量积，
得l·g＝xl·m＋yl·n.
因为l·m＝0，l·n＝0，所以l·g＝0,
所以l⊥g.即l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，
所以l⊥α.
B练习3：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.
小结：
B/A变式4：10．已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求AC′的长(如图所示)；

(2) 求 与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角的余弦值．
解 (1)∵= + + ,
∴||2 = (+ + )2
=| |2 + | |2+ | |2 + 2 (· +· + ·)
= 42 + 32 + 52 +2（0+10+7.5）= 85.
∴|| ＝ eq \r(85).
(2) 方法一 设与的夹角为θ,
∵四边形ABCD是矩形,∴| | = 。
∴由余弦定理可得
csθ＝eq \f(AC′2＋AC2－CC′2,2AC′·AC)＝eq \f(85＋25－25,2·\r(85)·5)＝eq \f(\r(85),10).
方法二 设＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA′,\s\up6(→))＝c，
依题意· ＝ (a＋b＋c)·(a＋b)
＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c
＝16＋0＋9＋4·5·cs60°＋3·5·cs60°
＝16＋9＋10＋eq \f(15,2)＝eq \f(85,2).
∴ cs θ＝ = eq \f(\f(85,2),\r(85)·5)＝eq \f(\r(85),10).
三、课堂小结
空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉，这里〈a，b〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a，b〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a⊥b⇔a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cs〈a，b〉，csθ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．
作业布置
C1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
B2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )
A.eq \r(7) B.eq \r(10)
C.eq \r(13) D．4
C3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
C4．．已知向量a、b满足条件：|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
B5．已知a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B6. 已知线段AB,BD在平面α内,∠ABD=120°,线段AC⊥α,如果AB=a,BD=b,AC=c,则| |为____________．
B7．已知|a|＝3eq \r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.
B/A8 如图，已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与所成角的余弦值.

板书设计
反思
合作学习时，没有掌握好时间，导致本课没有完成，下节课再补充。
空间向量的数量积
一、知识整理
1.
2.
例题1
练习1

.例题2
练习2：
练习3：
三：课堂小结
四、布置作业