高中数学第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试课后复习题

高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题

一、选择题

1．是复数为纯虚数的（    ）

Ａ．充分条件但不是必要条件

Ｂ．必要条件但不是充分条件

Ｃ．充要条件

Ｄ．既不是充分也不必要条件

答案：Ｂ

2．若，，的和所对应的点在实轴上，则为（　　）

Ａ．3  Ｂ．2  Ｃ．1  Ｄ．

答案：Ｄ

3．复数对应的点在虚轴上，则（　　）

Ａ．或  Ｂ．且  Ｃ．  Ｄ．或

答案：Ｄ

4．设，为复数，则下列四个结论中正确的是（　　）

Ａ．若，则

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．是纯虚数或零

答案：Ｄ

5．设，，则下列命题中正确的是（　　）

Ａ．的对应点在第一象限

Ｂ．的对应点在第四象限

Ｃ．不是纯虚数

Ｄ．是虚数

答案：Ｄ

6．若是实系数方程的一个根，则方程的另一个根为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

答案：Ａ

7．已知复数，，则的最大值为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．3

答案：Ａ

8．已知，若，则等于（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．4

答案：Ｂ

9．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为．那么向量对应的复数是（　　）

Ａ．1  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

答案：Ｄ

10．在下列命题中，正确命题的个数为（　　）

①两个复数不能比较大小；

②，若，则；

③若是纯虚数，则实数；

④是虚数的一个充要条件是；

⑤若是两个相等的实数，则是纯虚数；

⑥的一个充要条件是．

Ａ．0  Ｂ．1  Ｃ．2  Ｄ．3

答案：Ｂ

11．复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

答案：Ｂ

12．复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（　　）

Ａ．圆  Ｂ．椭圆  Ｃ．双曲线  Ｄ．抛物线

答案：Ａ

二、填空题

13．若复数所对应的点在第四象限，则为第　　　　象限角．

答案：一

14．复数与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为　　　　．

答案：

15．已知，则　　　　　．

答案：2

16．定义运算，则符合条件的复数　　　　．

答案：

三、解答题

17．已知复数的模为，求的最大值．

解：，

，故在以为圆心，

为半径的圆上，表示圆上的点与原点连线的斜率．

如图，由平面几何知识，易知的最大值为．

18．已知为实数．

（1）若，求；

（2）若，求，的值．

解：（1），

；

（2）由条件，得，

，

解得

19．已知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围．

解：，

，

对恒成立．

当，即时，不等式成立；

当时，

综上，．

20．已知，是纯虚数，又，求．

解：设

．

为纯虚数，

．

．．

把代入，解得．

．

．

21．复数且，对应的点在第一象限内，若复数对应的点是正三角形的三个顶点，求实数，的值．

解：，

由，得．               ①

复数0，，对应的点是正三角形的三个顶点，

，

把代入化简，得．　　　②

又点在第一象限内，，．

由①②，得

故所求，．

22．设是虚数是实数，且．

（1）求的值及的实部的取值范围．

（2）设，求证：为纯虚数；

（3）求的最小值．

（1）解：设，

则．

因为是实数，，所以，即．

于是，即，．

所以的实部的取值范围是；

（2）证明：．

因为，，所以为纯虚数；

（3）解：

因为，所以，

故．

当，即时，取得最小值1．