第十五讲 点线面的位置关系学案

第十五讲 点线面的位置关系

1．直线与平面平行的判定定理

如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行．

符号语言表述：．

图象语言表述：如右图：

2．直线与平面平行的性质定理

　　如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．

　　符号语言表述：．

图象语言表述：如右图：

1．两个平面平行的判定定理

　　如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．

符号语言表述：

．

　　图像语言表述：

　　推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．

2．两个平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

符号语言表述：．

　　图象语言表述：如下图：

1．若直线不平行于平面，且，则(    )

A．内的所有直线与异面              B．内不存在与平行的直线

C．内存在唯一的直线与平行         D．内的直线与都相交

2．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（  　）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则               D．若，，则

3．(2018浙江)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)

A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

4．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.

5．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.

求证：FG∥平面AA1B1B.

6．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.

求证：BM∥平面PAD.

6．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.

求证：PA∥GH.

7．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.

8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

9．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

1．线面垂直的判定定理

　　如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

　　符号语言表述：

　　图像语言表述：

2．线面垂直的性质定理

　　如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．

　　符号语言表述：

　　图像语言表述：

3．线面垂直的性质

(1)一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线．

(2)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；

(3)推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；

(4)垂直于同一直线的两个平面平行．

1．面面垂直的判定定理

　　如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

　　符号语言表述：

　　图像语言表述：

2．面面垂直的性质定理

　　如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

　　符号语言表述：

图像语言表述：

3．面面垂直的性质

(1)两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面．

(2)两平面互相垂直，过公共交线上一点做一个平面的垂线，则这条直线在第二个平面内．

1．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：

　(1)CD⊥AE；

　(2)PD⊥平面ABE.

2．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.

　(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；

　(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A­BCB1的体积．

3．如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．

　(1)求证：SD⊥平面ABC；

　(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

4．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：

　(1)AB∥平面A1B1C；

　(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.

5．如图，三棱锥P­ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.

求证：平面PAC⊥平面ABC.

6．如图，四棱锥P­ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA＝AD.求证：

　(1)AF∥平面PEC；

　(2)平面PEC⊥平面PCD.