数学选修2-21.7定积分的简单应用导学案

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：李长春

1.7.2定积分在物理中的应用

课前预习学案

【预习目标】

能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功.

【预习内容】

一、知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间上所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的              ，即                  .

例1已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：）

求（1）汽车行驶的路程；（2）汽车行驶的路程；（3）汽车行驶的路程.

变式1：变速直线运动的物体速度为初始位置为求它在前内所走的路程及末所在的位置.

二、要点：如果物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同方向从移动到则变力所作的功=             .

例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置处，求克服弹力所作的功.

变式2：一物体在变力作用下，沿与成方向作直线运动，则由运动到时作的功为                     .

课内探究学案

一、学习目标：

1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.

2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。

二、学习重点与难点：

1. 定积分的概念及几何意义
2. 定积分的基本性质及运算的应用

三、学习过程

(一)变速直线运动的路程

1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的              定积分                            ，即．

2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是

．（只列式子）

3．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为  ．

例1．教材P58面例3。

练习：P59面1。

（二）变力作功

1．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）．

2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的

功W =．

例2．教材例4。

课后练习与提高

1、  设物体以速度作直线运动，则它在内所走的路程为（  ）              

2、设列车从点以速度开始拉闸减速，则拉闸后行驶所需时间为（   ）

3、以初速竖直向上抛一物体，时刻的速度则此物体达到最高时的高度为（   ）

4、质点由坐标原点出发时开始计时，沿轴运动，其加速度，当初速度时，质点出发后所走的路程为（   ）

5、如果能拉弹簧，为了将弹簧拉长，所耗费的功为（   ）

6、一物体在力（力：；位移：）作用下沿与力相同的方向由直线运动到处作的功是（   ）

7、将一弹簧压缩厘米，需要牛顿的力，将它从自然长度压缩厘米，外力作的功是              [来源:高考学习网XK]

8、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止.求

（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；

（2）紧急刹车后火车运行的路程.

[来源:Z#xx#k.Com]

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：李长春

1.7.2  定积分在物理中的应用

一、教学目标：

1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.

2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。

二、教学重点与难点：

1. 定积分的概念及几何意义
2. 定积分的基本性质及运算的应用

三教学过程：

（一）练习

1．曲线y = x2 + 2x直线x = – 1，x = 1及x轴所围成图形的面积为（ B  ）．

A．      B．2     C．       D．

2．曲线y = cos x与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D   ）

   A．4     B．2    C．    D．3

3．求抛物线y2 = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．

解：如图：由得A（1，– 1），B（9，3）．

   选择x作积分变量，则所求面积为

   =

   =．

（二）新课

变速直线运动的路程

1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分    ，即．

2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是

．（只列式子）

3．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为  ．

例1．教材P58面例3。

练习：P59面1。

变力作功[来源:Zxxk.Com]

1．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）．

2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的

功W =．

例2．教材例4。

练习：

1．教材P59面练习2

2．一物体在力F (x) =（单位：N）的作用下沿与力F(x)做功为（ B   ）

   A．44J    B．46J    C． 48J    D．50J

3．证明：把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W =  G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．

证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G·，其中G为引力常数．

    则当质量为m物体距离地面高度为x（0≤x≤h）时，地心对它有引力f (x) = G·故该物体从地面升到h处所做的功为

    dx =·dx = GMmd (k + 1) = GMm[来源:Zxxk.Com]

    =．

（三）、作业《习案》作业二十