高中数学人教版新课标A必修3第一章 算法初步1.3 算法与案例教学设计

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几种常见的算法案例分析 算法不仅是数学及其应用的重要的组成部分，也是计算机科学的重要基础，其中算法的重要思想在几种常见的算法例案中得以较好的体现。本文从几种常见算法案例出发，来探究一下算法的内涵。 辗转相除法 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小的数就是原来两个数的最大公约数。 写出求两个正数的最大公约数的一个算法。 算法设计：第一步：输入两个正整数； 第二步：把的余数赋予； 第三步：如果，那么把赋予，把赋予，转到第二步；否则转到第四步； 第四步：输入最大公约数。 程序框图下图所示： Y N 开始 输入 r=mod(a,b) a=b b=r r=0 输出 结束 用伪代码表示：input“a=,b=”；a,b do r=mod(a,b) a=b b=r loop until r=0 print b end 更相减损术 所谓更相减术，就是对于给定的两个数，以其中较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成一对新数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两个数就是原两个数的最大公约数。在我国古代的<<九章算术>>中有这样的描述“约分术曰：可半者半之，不可半者会置分母分子之数，以少减多，更相损减，求其等也，以等数约之。”意思是说如果分母、分子都是偶数，那么先除以2；如果不全是偶数，便将分子与分母互减，以少减多，直到得出最大公约数为止，用最大公约数约分子与分母，便可使分数最简。如果两个数都是偶数，也不除以2，直接求最大公约数。这是一种多么奇妙的方法啊，我们古代人在许多方面都比西方先进，这是值得我们自豪的。 以上题为例，算法可以这样来设计： 第一步：输入两个正整数； 第二步：若不等于，则执行第三步；否则执行第五步； 第三步：把的差赋予； 第四步：如果，则把的值赋予，否则把的值赋予，执行第二步； 第五步：输出最大公约数。 程序框图如图(2)所示： 用伪代码表示： input a,b while a<>b r=a-b if b>r then a=b b=r else a=r end if wend print b end 秦九韶算法 例2、写出，求多项式的值的一个算法。 算法1：input “x”；x p= print “p”；p end 算法2：input “x”；x p= print “p”；p end 比较上述两种算法，我们可以看出算法2是较为方便的，这种算法就是“秦九韶算法”。其特点是：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个次多项式，只要做次乘法和次加法即可。 例3、试描述给定的值，求多项式值的算法。 分析：我们先看给定一个定值，求5次多项式函数值的例子。首先可以把多项式一步一步的改写： 上面分层计算： 第一步：计算最内层的值，把的值赋给一个变量； 第二步：计算的值，可以改写为 直接插入排序法 冒泡排序法 希望同学们通过对上述算法案例的模仿、操作和探索的过程中，学习用数学语言描述算法 ，了解计算机科学与现实世界的联系，学会欣赏数学，提高自己学习数学的兴趣。