高中人教版新课标A2.4 平面向量的数量积教学设计及反思
展开第二章 平面向量 第9课时 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的: ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点:平面向量数量积的坐标表示 教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角. C 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos叫a与b的数量积,记作ab,即有ab = |a||b|cos, (0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0. 3.向量的数量积的几何意义: 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 4.两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos; 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时,ab = |a||b|;当a与b反向时,ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或 4 cos = ;5|ab| ≤ |a||b| 5.平面向量数量积的运算律 交换律:a b = b a 数乘结合律:(a)b =(ab) = a(b) 分配律:(a + b)c = ac + bc 二、讲解新课: ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量,,试用和的坐标表示. 设是轴上的单位向量,是轴上的单位向量,那么, 所以 又,,,所以 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 2. 平面内两点间的距离公式 设,则或. (2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么(平面内两点间的距离公式) 向量垂直的判定 设,,则 两向量夹角的余弦() cos = 讲解范例: 设a = (5, 7),b = (6, 4),求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o) 例2 已知A(1, 2),B(2, 3),C(2, 5),试判断△ABC的形状,并给出证明. 例3 已知a = (3, 1),b = (1, 2),求满足xa = 9与xb = 4的向量x. 解:设x = (t, s), 由 ∴x = (2, 3) 例4 已知a=(1,),b=(+1,-1),则a与b的夹角是多少? 分析:为求a与b夹角,需先求a·b及|a|·|b|,再结合夹角θ的范围确定其值. 解:由a=(1,),b=(+1,-1) 有a·b=+1+(-1)=4,|a|=2,|b|=2. 记a与b的夹角为θ,则cosθ= 又∵0≤θ≤π,∴θ= 评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定. 例5 如图,以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使B = 90,求点B和向量的坐标. 解:设B点坐标(x, y),则= (x, y),= (x5, y2) ∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0即:x2 + y2 5x 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即:10x + 4y = 29 由 ∴B点坐标或;=或 例6 在△ABC中,=(2, 3),=(1, k),且△ABC的一个内角为直角, 求k值. 解:当A = 90时,= 0,∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 当B = 90时,= 0,== (12, k3) = (1, k3) ∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k = 当C = 90时,= 0,∴1 + k(k3) = 0 ∴k = 课堂练习: 1.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b=( ) A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量,则b等于( ) A.或 B.或 C.或 D.或 4.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)= . 5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P(x,-)在线段AB的中垂线上,则x= . 6.已知A(1,0),B(3,1),C(2,0),且a=,b=,则a与b的夹角为 . 小结(略) 课后作业(略) 板书设计(略) 课后记:
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