人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算一课一练

2.2 第1课时 向量加法运算及其几何意义

一、选择题

1．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是(　　)

A．矩形　　　 B．菱形

C．正方形    D．平行四边形

[答案]　D

[解析]　在四边形ABCD中，＝＋，

又＝＋，∴＝，

∴四边形ABCD是平行四边形．

2．向量(＋)＋(＋)＋等于(　　)

A.　　　  B.　　　

C.　　　  D.

[答案]　C

[解析]　原式＝＋＋＋＋

＝＋0＝.

3．若a，b为非零向量，则下列说法中不正确的是(　　)

A．若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同

B．若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同

C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同

D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同

[答案]　B

[解析]　∵a与b方向相反，|a|>|b|，∴a＋b与a的方向相反，故B不正确．

4．已知||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　　)

A．[5,13]    B．[3,13]

C．[8,13]    D．[5,8]

[答案]　B

[解析]　当与异向时，||可取最大值13；当与同向时，||可取最小值3.所以||的取值范围是[3,13]．

[点评]　先作出，由于的方向未定，以A为圆心||为半径作圆，则此圆上任一点均可为C点，

∴3≤||≤13.

5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有(　　)

①a∥b  ②a＋b＝a

③a＋b＝b  ④|a＋b|<|a|＋|b|

A．①③    B．②③

C．②④    D．①②

[答案]　A

[解析]　在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，所以a为零向量，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确．

6．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)

A．a与b方向相同 

B．a∥b

C．a＝－b 

D．a与b的关系不确定

[答案]　A

[解析]　当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.

7．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是(　　)

A.＝，＝ 

B.＋＝

C.＋＝＋ 

D.＋＋＝

[答案]　C

[解析]　因为＋＝，＋＝，所以＋＝＋.

8．在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则＋等于(　　)

A.     B.

C.     D.

[答案]　C

[解析]　∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，

∴DE∥AF且DE＝AF，

∴＝，

∴＋＝＋＝.

9．向量(＋)＋(＋)＋化简后为(　　)

A.     B.

C.     D.

[答案]　A

10．(09·山东文)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)

A.＋＝0  B.＋＝0

C.＋＝0   D.＋＋＝0

[答案]　C

[解析]　∵＋＝2，

∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，

∴＋＝0.故选C.

二、填空题

11．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.

[答案]　3

[解析]　∵||＝||且∠AOB＝90°，∴|a＋b|为以、为两邻边的矩形的对角线的长，

∴|a＋b|＝3.

12．设P为▱ABCD所在平面内一点，则①＋＝＋；②＋＝＋；③＋＝＋中成立的序号为________．

[答案]　②

[解析]　以PA、PC为邻边作平行四边形PAEC，则PE与AC交于AC中点O，同样以PB、PD为邻边作平行四边形PBFD，对角线BD与PF交于BD中点O′，则O与O′重合，∴＋＝＋.

13．若||＝10，||＝8，则||的取值范围是______．

[答案]　[2,18]

[解析]　如图．

固定，以A为起点作，则的终点C在以A为圆心，||为半径的圆上，由图可见，当C在C1处时，||取最小值2，当C在C2处时，||取最大值18.

三、解答题

14．设a表示“向西走2km”，b表示“向北走2km”，则a＋b表示向哪个方向行走了多少？

[解析]　如图，作＝a＝“向西走2km”，＝b＝“向北走2km”，则＝＋＝a＋b.

∵△OAB为Rt△，∴||＝＝2km，

又∠AOB＝45°，所以a＋b表示向西北方向走了2km.

15．已知两个力F1、F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10N，与力F1的夹角是60°，求力F1、F2的大小．

[解析]　设表示力F1，表示力F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则表示合力F，由题意易得||＝||cos60°＝5，||＝||sin60°＝5，

因此，力F1，F2的大小分别为5N和5N.

16．在水流速度大小为10km/h的河中，如果要使船实际以10km/h大小的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．

[解析]　如右图所示，OA表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船行速度的方向，由＝＋易知||＝||＝10，又∠OBC＝90°，∴||＝20，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向成120°角．

17．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，

cos∠DAB＝.

求|＋|与|＋|.

[解析]　∵＋＝＋＝0，∴＝，＝.

∴四边形ABCD为平行四边形．

又||＝||＝1，知四边形ABCD为菱形．

∵cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，

∴∠DAB＝，∴△ABD为正三角形．

∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝.

|＋|＝||＝||＝1.

18．若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：＝.

[解析]　如图所示，连结AC，在△DAC中，

∵N，M分别是AD，CD的中点，

∴∥，且||＝||，且与的方向相同．同理可得||＝||且与的方向相同，故有||＝||，且与的方向相同，∴＝.