高中数学人教版新课标A必修21.1 空间几何体的结构教学设计

课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

教学目标：

一、    知识与技能

1、            掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念 ，进一步培养学生的空间想象力。

2、            理解并掌握公理4，并能运用它解决一些简单的几何问题。

二、          过程与方法：

    讲授法、自主发现、探究实践

三、          情感态度与价值观：

        通过对空间直线间不同位置关系的理解、运用和展示，体会数学世界的美妙，培养学生的美学意识。

教学重点：

异面直线的概念、公理4

教学难点：

异面直线的概念

教具准备：

1、            立体几何模型

2、            投影机

教学过程：

（一）、创设情境，引入新课

       前面我们学习了平面的基本性质及其简单的应用——共面问题、点共线问题、线共点问题的证明，明确了这些问题证明的思路、方法和步骤，这些内容是立体几何的基础，应予以足够的重视，这一节课我们来学习空间直线的位置关系（板书课题）

（二）新课

1、问题探究

问题1：同一平面内两条直线有几种位置关系？

①     相交直线——有且仅有一个公共点

②     平行直线——在同一平面内，没有公共点

问题2：空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？

       观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线;天安门广场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线，南京万泉河立交桥的两条公路所在的直线，它们的共同特征是什么？

共同特征是：既不相交，也不共面，即不在同一个平面内。

思考：如下图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段AB′所在直线与线段CC′所在直线的位置关系如何？

通过观察思考后发现：直线AB’与直线CC’既不平行也不相交，还不共面。即不在同一平面内。

2、归纳总结 ，形成概念

我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。

空间中两条直线的位置关系有三种：

为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托。

3、初步运用，示例练习

如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对？(答案：3对)

4、平行直线（板书）

问题3：在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线有什么位置关系？空间中平行于同一直线的两条直线又有怎样的位置关系？

在初中几何里我们已经知道：在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 ，在空间这样的规律也是成立的，我们把这个规律作为本章的第四个公理。

公理四：

       平行于同一条直线的两条直线互相平行。

用符号语言表示如下

设a,b,c是三条直线，

a∥b

                     a∥c

c∥b

a,b,c三条直线两两平行，可以记为a ∥ b∥ c

这个公理实质上 就是说平行具有传递性，在平面内，在空间，这个性质都是不变的。

5、观察感知，例题学习

投影：

例题1：

如下图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

证明：

连接BD，

∵EH是△ABD的中位线

∴EH∥BD,且EH=－BD

同理，FG ∥BD,且FG=—BD

∵EH∥FG,且EH=FG

∴四边形EFGH为平行四边形

变式练习：

已知四边形ABCD是空间四边形，E,H,分别是边AB,AD的中点，F,G分别是边CB,CD上的点，且— = — = —,求证：四边形EFGH有一组对边平行但不相等。

     证明：

 连接BD,

∵EH分别是AB,AD的中点

∴EH是△ABD的中位线

∴EH∥BD,EH= —BD

又在△CBD中，— = — = —

∴FG∥BD,FG= —BD

根据公理4，EH∥FG,又FG＜EH

∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等

例题2：

如图，P是△ABC所在平面外一点，点D,E分别是△PAB和  △PBC的重心，

    求证：DE∥AC,DE= —AC

证明：

连接PD，PE，并延长分别交AB,BC于点M,N

∵点D,E分别是△PAB, △PBC的重心

∴M,N分别是AB,BC的中点

连接MN,则MN∥AC，且MN= —AC      ①

在△PMN中，

∵ — = — = —                   

∴DE ∥MN,且DE= —MN                ②

由①②根据公理4，得

DE∥AC,且DE= —MN= —AC

从以上两个例子的证明中可以看出，虽然都是空间问题 ，但是我们还是设法转化为平面问题来解决的 ，这是解决空间几何问题的一般方法，同学们要切实掌握这种转化思想。

变式练习：1.一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（   ）    (答案：D)        

A. 平行    B. 相交   C. 异面 

D.可能相交、可能平行、可能异面

  2.已知a、b是异面直线，c∥a，那么c与b（  ）  (答案：C)

A.一定是异面直线 B.一定是相交直线                      C. 不可能是平行直线        D.不可能是相交直线

课本P48 练习1（1）（答案：3条）

（三）、反思小结、能力提升

1、空间两条直线的三种位置关系

       相交、平行、异面

                相交直线：同一平面内，只有一个公共点的两条直线

2、共面直线

              平行直线：同一平面内，没有公共点的两条直线。

不共面直线——异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线平行。

 3、公理四： 平行于同一条直线的两条直线平行。

(四)、作业

课本P51 习题2.1 A组3，5（3）（6）