高中人教版新课标A2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系教案

这是一份高中人教版新课标A2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系教案，共7页。

1．知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.
难点：异面直线所成角的计算.
（三）教学方法
师生的共同讨论与讲授法相结合；
附加例题
例1 “a、b为异面直线”是指：
①a∩b =，且a∥b；
②a面，b面，且a∩b =；
③a面，b面，且∩=；
④a面，b面；
⑤不存在面，使a面，b面成立.
上述结论中，正确的是（ ）
A．①④⑤正确B．①③④正确
C．仅②④正确D．仅①⑤正确
【解析】 ①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D
例2 如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有 条.
a
b
A
a′
b′
O
P
A′
B′
【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线
a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有
∠A′PO =∠B′PO = 25°.
∵∠APA′＞A′PO，
∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.
例3 空间四边形ABCD，已知AD =1，BD =，且AD⊥BC，对角线BD =，AC =，求AC和BD所成的角。
【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.
∥
＝
∥
＝
则 MG
EM
∵AD⊥BC ∴EM⊥MG
在R t△EMG中，有
在RFG中，∵EF =
∴EF 2 +FG 2 = EG 2
∴EF⊥FG，即AC⊥BD
∴AC和BD所成角为90°.
【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？
师投影问题，学生讨论回答
生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.
生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……
师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.
以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.
探索新知
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点
1．空间的两条直线位置关系：
共面直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点
②平行直线—在同一平面内，没有公共点.
③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.
随堂练习：
如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对.
答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.
现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类
生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.
师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”
学生讨论发现不能去掉“任何”
师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”
培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解
（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行
（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD，
因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且.
同理FG∥BD，且.
因为EH∥FG，且EH = FG，
所以 四边形EFGH为平行四边形.
师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.
师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.
生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.
师（肯定）下面我们来看一个例子
观察图，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：从图中可以看出，
∠ADC = ∠A′D′C′，
∠ADC + ∠A′B′C′=180°
师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.
师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.
师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.
培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.
通过分析和引导，培养学生解题能力.
探索新知
3．异面直线所成的角
（1）异面直线所成角的概念.
已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
（2）异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.
例3 如图，已知正方体ABCD – A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？
（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？
解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.
（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.
（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.
师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角
；
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；
⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.
然后师生共同分析例题
加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.
随堂练习
1．填空题：
（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有 条.
（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .
答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.
2．如图，已知长方体ABCD – A′B′C′D′中，AB =，AD =，AA′ =2.
（1）BC和A′C′所成的角是多少度？
（2）AA′ 和BC′ 所成的角是多少度？
学生独立完成
答案：.
2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′ = 45°.
（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′ 和BB′ 所成的角.
在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD =，BB′= AA′=2，
所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
归纳总结
1．空间中两条直线的位置关系.
2．平行公理及等角定理.
3．异面直线所成的角.
学生归纳，教师点评并完善
培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.
作业
2.1 第二课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力