2013届数学新课标高考一轮复习训练手册（理科） 第4讲《函数及其表示》人教A版必修1

课时作业(四)　[第4讲　函数及其表示]

[时间：45分钟　　分值：100分]

1．下列各组函数中表示相同函数的是(　　)

A．y＝与y＝

B．y＝lnex与y＝elnx

C．y＝与y＝x＋3

D．y＝x0与y＝

2．已知f：x→sinx是集合A(A⊆[0,2π])到集合B＝的一个映射，则集合A中的元素最多有(　　)

A．4个  B．5个 

C．6个  D．7个

3．已知f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝(　　)

A．3  B. 

C．4  D.

4．[2011·惠州三调]  某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)

A．y＝2x－2  B．y＝x

C．y＝log2x  D．y＝(x2－1)

5．下列函数中值域为(0，＋∞)的是(　　)

A．y＝5  B．y＝1－x

C．y＝  D．y＝

6．[2011·广州调研]  函数y＝的定义域是(　　)

A．[1，＋∞)  B.

C.  D.

7．[2011·莆田模拟] 已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式恒成立的是(　　)

A．f(x1)－f(x2)>0  B．f(x1)－f(x2)<0

C．f(x1)＋f(x2)<0  D．f(x1)＋f(x2)>0

8．[2011·郑州一中模拟]  定义在实数集上的函数f(x)，如果存在函数g(x)＝Ax＋B(A，B为常数)，使得f(x)≥g(x)对于一切实数x都成立，那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数．给出如下命题：

①对给定的函数f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；

②定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数；

③g(x)＝2x为函数f(x)＝ex的一个承托函数；

④g(x)＝x为函数f(x)＝x2的一个承托函数．

其中，正确命题的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

9．图K4－1中的图象所表示的函数的解析式为(　　)

图K4－1

A．y＝|x－1|(0≤x≤2)

B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)

C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)

D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)

10．[2011·三明质检]  已知函数f(x)＝则不等式1<f(x)<4的解集为________．

11．[2012·荆州中学质检]  设f(x)＝满足f(n)＝－，

则f(n＋4)＝________.

12．[2011·长春二模]  设f(x)的定义域为D，若f(x)满足下面两个条件，则称f(x)为闭函数．

①f(x)在D内是单调函数；

②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]．

如果f(x)＝＋k为闭函数，那么k的取值范围是________．

13．已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f[g(x)]＝4x2－20x＋25，则函数g(x)＝________.

14．(10分)设f(x)＝，则是否存在实数a，使得至少有一个正实数b，使函数f(x)的定义域和值域相同？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

15．(13分)解答下列问题：

(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)；

(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)；

(3)若函数f(x)＝，f(2)＝1，且方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)．

16．(12分)已知向量a＝(1,1)，b＝(1,0)，向量c满足a·c＝0且|a|＝|c|，b·c>0.

(1)求向量c；

(2)映射f：(x，y)→(x′，y′)＝x·a＋y·c，若将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线l，使得直线l上任意一点P在映射f的作用下仍在直线l上？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

课时作业(四)

【基础热身】

1．D　[解析] 对于A，两函数的对应法则不同；

对于B，两函数的定义域不同；

对于C，两函数的定义域不同；

对于D，两函数的定义域都为{x|x∈R，x≠0}，对应法则都可化为y＝1(x≠0)．

2．B　[解析] 当sinx＝0时，x＝0，π，2π；

当sinx＝时，x＝，.

所以，集合A中的元素最多有5个．

3．B　[解析] 由f(x)＝可得f＝，

所以f(x)＋f＝1，又∵f(1)＝，

f(2)＋f＝1，

f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，

∴f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝.

4．D　[解析] 直线是均匀的，故选项A不是；指数函数y＝x是单调递减的，也不符合要求；对数函数y＝log2x的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求．

【能力提升】

5．B　[解析] 对于A：y>0，且y≠1；对于B：y>0；对于C：y≥0；对于D：0≤y≤1.

6．D　[解析] 由题知log(3x－2)≥0＝log1，又知对数函数的真数大于零，所以0<3x－2≤1，解得<x≤1.

7．B　[解析] f(x)＝为偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x1)－f(x2)<0.

8．C　[解析] ①正确，②错误；③正确；④错误．

9．B　[解析] 从图象上看出x＝0时y＝0，代入各个选项就可以排除A、C，x＝1时y＝，代入选项，D就可以排除．

10．(0,1]∪(3,4)　[解析] 由题意或解得0<x≤1或3<x<4.

11．－2　[解析] 由于x>6时函数的值域为(－∞，－log37)，－不在(－∞，－log37)内，所以n≤6，由3n－6－1＝－，解得n＝4，所以f(n＋4)＝f(8)＝－2.

12．－1<k≤－　[解析] f(x)＝＋k为上的增函数，又f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，∴即f(x)＝x在上有两个不等实根，即＝x－k在上有两个不等实根．

方法一：问题可化为y＝和y＝x－k的图象在上有两个不同交点．对于临界直线m，应有－k≥，即k≤－.对于临界直线n，y′＝()′＝，令＝1，得切点P横坐标为0，∴P(0,1)．

∴直线n：y＝x＋1，令x＝0，得y＝1，

∴－k＜1，即k>－1.综上，－1<k≤－.

方法二：化简方程＝x－k，得x2－(2k＋2)x＋k2－1＝0.

令g(x)＝x2－(2k＋2)x＋k2－1，则由根的分布可得即

解得k>－1.又＝x－k，∴x≥k，∴k≤－.综上，－1<k≤－.

13．2x－5　[解析] 由g(x)为一次函数，设g(x)＝ax＋b(a>0)．

因为f[g(x)]＝4x2－20x＋25，

所以(ax＋b)2＝4x2－20x＋25，

即a2x2＋2abx＋b2＝4x2－20x＋25，解得a＝2，b＝－5，

故g(x)＝2x－5.

14．[解答] 要使解析式f(x)＝有意义，

则ax2＋bx＝x(ax＋b)≥0.

当a>0时，函数的定义域为∪[0，＋∞)，由于函数的值域为非负数，因此a>0不符合题意；

当a＝0时，f(x)＝，此时函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域也为[0，＋∞)，符合题意；

当a<0时，函数的定义域为，又f(x)＝＝，

∵0<－<－，∴当x＝－时，函数f(x)有最大值，由题意有－＝2，即a2＝－4a，解得a＝－4.

综上，存在符合题意的实数a，a的值为0或－4.

15．[解答] (1)令t＝x＋1，则x＝t－1，

所以f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3.

所以f(x)＝2x2－4x＋3.

(2)因为2f(x)－f(－x)＝x＋1，

用－x去替换等式中的x，

得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，

即有

解方程组消去f(－x)，得f(x)＝＋1.

(3)由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2.

由f(x)＝x得＝x，变形得x＝0，解此方程得：x＝0或x＝.

又因为方程有唯一解，所以＝0，解得b＝1，

代入2a＋b＝2得a＝，

所以所求解析式为f(x)＝.

【难点突破】

16．[解答] (1)设c＝(x，y)，则⇒

∴c＝(1，－1)．

(2)假设直线l存在，∴xa＋yc＝(x＋y，x－y)，

∵点(x＋y，x－y)在直线l上，

因此直线l的斜率存在且不为零，

设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，

∴x－y＝k(x＋y)＋b，即(1＋k)y＝(1－k)x－b，与y＝kx＋b表示同一直线，

∴b＝0，k＝－1±.

∴直线l存在，其方程为y＝(－1±)x.