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高考数学考前回归课本知识技法精细过（十二）：排列组合二项式定理教案
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这是一份高考数学考前回归课本知识技法精细过（十二）：排列组合二项式定理教案，共6页。教案主要包含了必记3个知识点，必明2个易误点，技法等内容，欢迎下载使用。
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、必记3个知识点
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝①____________________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝②____________________种不同的方法．
3．两个原理的区别与联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③____________________的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与④________有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与⑤________有关，各个步骤⑥________，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
二、必明2个易误点
1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
三、技法
1.分类加法计数原理的实质
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．
2．使用分类加法计数原理遵循的原则
有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
3. 分步乘法计数原理的实质
分类乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任何一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事．
4．使用分步乘法计数原理的原则
(1)明确题目中的“完成这件事” 是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.
5.两个注意：
(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原理．
(2)注意对较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
6. 解决涂色问题的要点
(1)要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．
(2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色.
参考答案
①m1＋m2＋…＋mn ②m1×m2×…×mn ③完成一件事情 ④分类 ⑤分步 ⑥相互依存
第二节 排列与组合
一、必记2个知识点
1．排列与排列数
(1)排列的定义：一般地，从n个①________元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的②________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的③____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Aeq \\al(m,n).
(3)排列数公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝④____________.
Aeq \\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝⑤__________，规定0！＝1.
2．组合与组合数
(1)组合的定义：一般地，从n个⑥________的元素中取m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个⑦________元素中取出m(m≤n)个元素的⑧__________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
(3)组合数公式
Ceq \\al(m,n)＝⑨____________＝⑩__________________________＝⑪__________________.
(4)组合数的性质
性质1：Ceq \\al(m,n)＝⑫____________.
性质2：Ceq \\al(m,n＋1)＝⑬____________(m≤n，n∈N*，m∈N*)．
二、必明3个易误点
1．要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数．
2．解受条件限制的组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现遗漏或重复．
3．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．
三、技法
1. 求解排列应用问题的6种主要方法
2. 两类含有附加条件的组合问题的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直解法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解.
3. 解排列组合问题要遵循两个原则：
一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
参考答案
①不同 ②顺序 ③所有不同排列 ④eq \f(n！,n－m！) ⑤n！ ⑥不同 ⑦不同
⑧所有不同组合 ⑨eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m)) ⑩eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！) ⑪eq \f(n！,m！n－m！)
⑫eq \x(C\\al(n－m,n)) ⑬Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n)
第三节 二项式定理
一、必记3个知识点
1．二项式定理
(a＋b)n＝①______________________________________.
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ceq \\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做②________________________.式中的Ceq \\al(r,n)an－rbr叫做二项展开式的③________，用Tr＋1表示，即展开式的第④________项；Tr＋1＝⑤____________.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)每一项的次数之和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为⑥________.
(3)字母a按⑦________排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按⑧________排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从⑨______________，Ceq \\al(1,n)，一直到Ceq \\al(n－1,n)，⑩____________.
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端⑪________的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
(2)增减性与最大值：二项式系数Ceq \\al(k,n)，当⑫________时，二项式系数是递增的；当⑬________时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，中间的一项⑭________取得最大值．
当n是奇数时，中间两项⑮________和⑯________相等，且同时取得最大值．
(3)二项式系数的和：
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即⑰__________________________________________＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝⑱________.
二、必明3个易误点
1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来．
2．应用通项公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错．
3．通项公式是第r＋1项而不是第r项．
三、技法
1. 求展开式中的指定项或特定项
解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.
2. 二项式系数或项系数的和问题涉及的两个方法
= 1 \* GB2 ⑴ “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法；只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
= 2 \* GB2 ⑵若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2).
3. 求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤
第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；
第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))即得结果.
4. 利用二项式定理解决整除问题时，基本思路：
要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理.
参考答案
①Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*) ②二项式系数 ③通项
④r＋1 ⑤Ceq \\al(r,n)an－rbr ⑥n ⑦降幂 ⑧升幂 ⑨Ceq \\al(0,n) ⑩Ceq \\al(n,n) ⑪“等距离” ⑫k＜eq \f(n＋1,2)
⑬k＞eq \f(n＋1,2) ⑭Ceq \f(n,2)n ⑮Ceq \f(n－1,2)n ⑯Ceq \f(n＋1,2)n ⑰Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(r,n)＋…＋Ceq \\al(n,n) ⑱2n－1
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、必记3个知识点
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝①____________________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝②____________________种不同的方法．
3．两个原理的区别与联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③____________________的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与④________有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与⑤________有关，各个步骤⑥________，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
二、必明2个易误点
1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
三、技法
1.分类加法计数原理的实质
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．
2．使用分类加法计数原理遵循的原则
有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
3. 分步乘法计数原理的实质
分类乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任何一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事．
4．使用分步乘法计数原理的原则
(1)明确题目中的“完成这件事” 是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.
5.两个注意：
(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原理．
(2)注意对较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
6. 解决涂色问题的要点
(1)要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．
(2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色.
参考答案
①m1＋m2＋…＋mn ②m1×m2×…×mn ③完成一件事情 ④分类 ⑤分步 ⑥相互依存
第二节 排列与组合
一、必记2个知识点
1．排列与排列数
(1)排列的定义：一般地，从n个①________元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的②________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的③____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Aeq \\al(m,n).
(3)排列数公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝④____________.
Aeq \\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝⑤__________，规定0！＝1.
2．组合与组合数
(1)组合的定义：一般地，从n个⑥________的元素中取m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个⑦________元素中取出m(m≤n)个元素的⑧__________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
(3)组合数公式
Ceq \\al(m,n)＝⑨____________＝⑩__________________________＝⑪__________________.
(4)组合数的性质
性质1：Ceq \\al(m,n)＝⑫____________.
性质2：Ceq \\al(m,n＋1)＝⑬____________(m≤n，n∈N*，m∈N*)．
二、必明3个易误点
1．要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数．
2．解受条件限制的组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现遗漏或重复．
3．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．
三、技法
1. 求解排列应用问题的6种主要方法
2. 两类含有附加条件的组合问题的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直解法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解.
3. 解排列组合问题要遵循两个原则：
一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
参考答案
①不同 ②顺序 ③所有不同排列 ④eq \f(n！,n－m！) ⑤n！ ⑥不同 ⑦不同
⑧所有不同组合 ⑨eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m)) ⑩eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！) ⑪eq \f(n！,m！n－m！)
⑫eq \x(C\\al(n－m,n)) ⑬Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n)
第三节 二项式定理
一、必记3个知识点
1．二项式定理
(a＋b)n＝①______________________________________.
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ceq \\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做②________________________.式中的Ceq \\al(r,n)an－rbr叫做二项展开式的③________，用Tr＋1表示，即展开式的第④________项；Tr＋1＝⑤____________.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)每一项的次数之和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为⑥________.
(3)字母a按⑦________排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按⑧________排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从⑨______________，Ceq \\al(1,n)，一直到Ceq \\al(n－1,n)，⑩____________.
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端⑪________的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
(2)增减性与最大值：二项式系数Ceq \\al(k,n)，当⑫________时，二项式系数是递增的；当⑬________时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，中间的一项⑭________取得最大值．
当n是奇数时，中间两项⑮________和⑯________相等，且同时取得最大值．
(3)二项式系数的和：
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即⑰__________________________________________＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝⑱________.
二、必明3个易误点
1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来．
2．应用通项公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错．
3．通项公式是第r＋1项而不是第r项．
三、技法
1. 求展开式中的指定项或特定项
解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.
2. 二项式系数或项系数的和问题涉及的两个方法
= 1 \* GB2 ⑴ “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法；只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
= 2 \* GB2 ⑵若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2).
3. 求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤
第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；
第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))即得结果.
4. 利用二项式定理解决整除问题时，基本思路：
要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理.
参考答案
①Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*) ②二项式系数 ③通项
④r＋1 ⑤Ceq \\al(r,n)an－rbr ⑥n ⑦降幂 ⑧升幂 ⑨Ceq \\al(0,n) ⑩Ceq \\al(n,n) ⑪“等距离” ⑫k＜eq \f(n＋1,2)
⑬k＞eq \f(n＋1,2) ⑭Ceq \f(n,2)n ⑮Ceq \f(n－1,2)n ⑯Ceq \f(n＋1,2)n ⑰Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(r,n)＋…＋Ceq \\al(n,n) ⑱2n－1
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
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