第28讲 投影与视图-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版下册学案

第二十九章 投影与视图

第30讲  投影与视图

【板块一】 投影

题型一 投影的意义

【例 1】 下列命题中，真命题有( A )

①正方形的平行投影一定是菱形;②平行四边形的平行投影   一定是平行四边形;③三角形的平行技影一定是三角形.

A.0个 B.1 个   C 2个   D  3个

【分析】平行投影的特点和规律可知.

解 :A.

【点评】   投影方向不同，投影(结果)不同.

题型二 与投影有关的计算

【例 2】 一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的表面积是___3π____             

【分析】 圆锥的表面积 ＝ 底面圆的面积 ＋ 圆锥的侧面积.

解:由题意 得圆锥的母线为2 .底面圆半径为1;则这个圆锥的表面积是

【点评】 解决本题的难a点是得到圆锥的底面半径与母线长，关键是圆锥的表面积公式.

【例 3】 如图，一根直立于水平地面的木杆 AB 在灯光下形成影 子 AC(AC＞AB) ，当木杆绕点A 按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度 发生变化.已知 AE＝5m ，在旋转过程中，影长的最大值为5m ，最小值3m ，且影长的最大时，木杆与光线垂直，求路灯 EF 的高度.

【分析】 根据木杆旋转时影子的长度变化确定木杆 AB 的长，然后利用相似三角形的性质求得EF的高度即可。

解:当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB. ∴AB＝3m，∵影长最大时，木杆与光线垂直 ，即 AC ＝5m，∴BC＝4 ，又可得△CAB∽△CFE ，∴,∴AE＝5m ，∴,解得 EF＝7. 5m

【点评】本题考查了中心投影和相似三角形的判定及性质的知识，解题的关键是根据影子的变化确定木杆的长度.

针对练习1

1、一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是(D)

A.AB ＝CD B. ABCD C. AB＞CD D.  ABCD

2、一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是( D    )

A平行四边形     B 矩形   C 正方形     D 梯形

3、太阳光线与地面成 的角，照射在地面 上 的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是cm ，则皮球的直径是( B              )

A. cm B.15cm C.10cm D. cm

4.如图,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时,影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影长为AC(假定AC＞AB),影长的最大值为m,最小值为n，那么下列结论中:①m＞AC;②m＝AC;③n＝AB;④影子的长度先增大后减小.正确的结论是         .(填序号)

答案：①③④

5.一条线段经过正投影后形成的图形是        .

答案：线段或点

6如图,一个圆柱的轴截面平行于投影面,圆柱的正投影是边长为4的正方形则圆柱体的表面积为         .

答案：

7.如图,在A时测得某树的影长为4m,B时又测得该树的影长为16m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为      m.

答案：8

8.如图,小明从点A出发沿AB方向匀速前进,2秒后到达点D,此时他在某一灯光下的影子为DA,继续按此速度行走2秒到达点F,此时他在同一灯光下的影子落在其身后的线段DF上,测得此时影长MF为1.2米,然后他将速度提高到原来的1.5倍再行走2秒到达点H.他在同一灯光下的影子恰好是HB.图中线段CD,EF,GH表示小明的身高.若A,B两地相距12米,求小明原来的速度.

解:设小明原来的速度为xm/s,则CE＝2xm,AM＝AF－MF＝(4x－1.2)m,EG＝2×1.5x＝3xm,

BM＝AB－AM＝12－(4x－1.2)＝13.2－4x,∵点C,E,G在一条直线上,CG∥AB,

若灯光的位置为点O.∴△OCE∽△OAM,△OEG∽△OMB, ∴，∴.

∴，即.解得x＝1.5经检验x＝1.5为方程的解,∴小明原来的速度为1.5m/s,答:略.

【板块二】三视图

题型一   简单的几何体的三视图

【例1】(1)如图是一个空心圆柱体,它的主视图是(     )

答案：B

(2)某几何体由大小相同的小立方块搭成,从上面看这个几何体的形状如图所示(小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数)从左面看该几何体的形状图是(   )

答案：A

【分析】(1)从不同方向看所得到的视图,注意所有的看到的校都应表现在相应的视图中;(2)左视图有2列,每列小正

方形数目分别为3,2

解:(1)B;(2)A

【点评】1.注意看得到的棱画实线,看不到的棱画虚线.

2.由几何体的俯视图及小正方形内的数字,可知主视图的列数与俯视数的列数相同,且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字.左视图的列数与俯视图的行数相同,且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字.

题型二   由三视图判断几何体

【例2】如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体是(    )

主视图左视图俯视图

【分析】根据三视图的定义即可判断；

解:C.

【点评】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.

【例3】如图,是由几个相同的小正方体组合而成的立体图形的三视图,则这个几何体的小正方体的个数是(     )

A.5 B.6 C.7 D.8

【分析】根据该几何体的俯视图可确定该几何体共有两行三列,再结合主视图,即可得出该几何体的小正方体的个数.

解:A.

【点评】掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”.

【例4】一个几何体的三视图如图所示.

(1)写出这个几何体的名称;

(2)求这个几何体侧面展开图的周长和面积;

【分析】(1)由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥;

(2)根据三视图知圆锥的底面圆的直径为12,半径为6,高为8,得出母线长为10,再根据扇形的孤长和面积公式可得答案.

解:(1)由三视图可知,该几何体为圆锥;

(2)由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为12,半径为6,高为8,则母线长为＝10,所以侧面展开图的周长为2×6＋20＝20＋12,面积为×(2×6)×10＝60.

【点评】本题主要考查由三视图判断几何体,解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长、面积计算公式,要记住圆锥的侧面积公式.

针对练习  2

1.下列几何体中,主视图与俯视图不相同的是(     )

答案：B

2.如图所示的几何体的俯视图是(    )

答案：C

3.如图是由几个相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上小正方体的个数,这个立体图形的左视图是(     )

答案：A

4.圆锥的主视图是边长为4cm的等边三角形,则该圆锥侧面展开图的面积是  cm2

答案：8  

5.长方体的主视图与俯视图如图所示,则这个长方体的体积是         .

答案：24

6.如图是一个由若干个小正方体组合而成的几何体的三视图,则组成该组合体的小正方体个数是        .

答案：5

7.如图,是一个几何体的三视图(含有数据),则这个几何体的侧面展开图的面积是        .

答案：2

8.一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体,其最下面一层摆放了9个小立方块,它的主视图和左视图如图所示,那么这个几何体的搭法共有       种.

答案：10