2014年天津市南开区中考一模数学试卷

这是一份2014年天津市南开区中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列四个数中的负数是
A. −22B. −22C. −−23D. −2

2. 3cs60∘ 的值等于
A. 32B. 322C. 233D. 332

3. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 在我国南海某海域探明可燃冰储量大约有 194 亿立方米．194 亿用科学记数法表示为
A. 1.94×1010B. 0.194×1010C. 19.4×109D. 1.94×109

5. 某农场各用 10 块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产量（单位：吨/亩）的数据统计如下：x甲≈0.54，x乙≈0.5，S甲2≈0.01，S乙2≈0.002，则由上述数据推断乙种大豆产量比较稳定的依据是
A. x甲>x乙B. S甲2>S乙2C. x甲>S甲2D. x乙>S乙2

6. 如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的左视图是
A. B.
C. D.

7. 如图，点 O 是 ∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与边 AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是 ⊙O 上一点，且 ∠EPD=35∘，则 ∠BAC 的度数为
A. 20∘B. 35∘C. 55∘D. 70∘

8. 如图，平行四边形 ABCD 中，AB=3，BC=5，BE 平分 ∠ABC 交 AD 于点 E 、交 AC 于点 F，则 AFFC 的值为
A. 53B. 35C. 32D. 23

9. 如图，现有一圆心角为 90∘，半径为 8 cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为
A. 4 cmB. 3 cmC. 2 cmD. 1 cm

10. 如图，双曲线 y=mx 与直线 y=kx+b 交于点 M 、 N，并且点 M 的坐标为 1,3，点 N 的纵坐标为 −1，根据图象信息可得关于 x 的方程 mx=kx+b 的解为
A. −3，1B. −3，3C. −1，1D. −1，3

11. 已知：如图，在 △ABC，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，AD=AE，点 C，D，E 三点在同一条直线上，连接 BD，BE．以下四个结论：① BD=CE；② BD⊥CE；③ ∠ACE+∠DBC=45∘；④ BE2=2AD2+AB2．其中结论正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

12. 若 x1，x2x1A. x1
二、填空题（共6小题；共30分）
13. −−12= ．

14. 已知 x 、 y 为两个连续的整数，且 x<5
15. 如图，网格的小正方形的边长均为 1，小正方形的顶点叫做格点．如果 △ABC 的三个顶点都在格点上，那么 △ABC 的外接圆半径是 ．

16. 同时投掷三枚质地均匀的硬币一次，三枚硬币同时向上的概率为 ．

17. 一个正三角形和一个正六边形面积相等，则它们的边长之比为 ．

18. 阅读下列材料：
小明遇到一个问题：5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图①所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图②所示的方法分割后，将三角形纸片①绕 AB 的中点 O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼成一个新的正方形 DEFG．
请你参考小明的做法解决下列问题：
（1）现有 5 个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图③所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形，要求：在图③中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
（2）如图④，在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中，点 E 、 F 、 G 、 H 分别是边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点，分别连接 AF 、 BG 、 CH 、 DE，所得平行四边形 MNPO 面积为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 x+13>0, ①2x+5≥6x−1 ②，并把解集在数轴上表示出来．

20. 某高中学校为使2014-2015学年高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校2015届九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为 6 种型号）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该班共有 名学生，其中穿 175 型校服的学生有 名．
（2）在条形统计图中，请把空缺部分补充完整．
（3）在扇形统计图中，185 型校服所对应的扇形圆心角的大小为 ．
（4）该班学生所穿校服型号的众数为 ，中位数为 ．
（5）如果该校预计招收新生 600 名，根据样本数据，估计新生中穿 170 型校服的学生大约有 名．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC 为 ⊙O 的切线，D 为 ⊙O 上的一点，CD=CB，延长 CD 交 BA 的延长线于点 E．
（1）求证：CD 为 ⊙O 的切线；
（2）若 BD 的弦心距 OF=1，∠ABD=30∘，求图中阴影部分的面积．（结果保留 π）

22. 如图所示，山顶有一铁塔 AB 的高度为 20 米，为测量山的高度 BC，在山脚点 D 处测得塔顶 A 和塔基 B 的仰角分别为 60∘ 和 45∘，求山的高度 BC．（结果保留根号）

23. 有一批图形计算器，原售价为每台 800 元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为 780 元；买两台，每台都为 760 元．依次类推，即每多买一台，所买各台单价均再减 20 元，但最低不能低于每台 440 元．乙公司一律按原售价的 75% 促销．某单位需购买一批图形计算器：
（1）若此单位需购买 6 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少?
（2）若此单位恰好花费 7500 元在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的?数量是多少?

24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A 、 B 的坐标分别为 12,0 、 12,6，直线 y=−32x+b 与 y 轴交于点 P，与边 OA 交于点 D，与边 BC 交于点 E．
（1）若直线 y=−32x+b 过矩形 OABC 对角线交点，求 b 的值；
（2）在（1）的条件下，当直线 y=−32x+b 绕点 P 顺时针旋转时，与直线 BC 和 x 轴分别交于点 N 、 M，问：是否存在 ON 平分 ∠CNM 的情况?若存在，求线段 DM 的长；若不存在，请说明理由；
（3）当直线 y=−32x+b 沿 y 轴向 平移 个单位长度时，将矩形 OABC 沿平移后的直线折叠，点 O 恰好落在边 BC 上．

25. 如图，已知直线 y=12x+1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y=12x2+bx+c 与直线交于 A 、 E 两点，与 x 轴交于 B 、 C 两点，且 B 点坐标为 1,0．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点 P 在 x 轴上移动，当 △PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使 AM−MC 的值最大，求出点 M 的坐标．
答案
第一部分
1. A
2. A
3. B【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
4. A
5. B
6. D
7. A
8. B【解析】∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC．
∴∠ABE=∠AEB．
∴AB=AE．
∵AB=3，
∴AE=3．
又可得 △AEF∽△CBF，
∴AFFC=AEBC=35．
9. C【解析】由已知条件可得该扇形的弧长为 90π×8180=4π cm．
所以所围圆锥底面圆的周长为 4π cm．
所以 2rπ=4π cm．
解得 r=2 cm．
10. A
11. C
12. C
第二部分
13. −12
14. 18
15. 10
16. 18
17. 6:1
18. （1）
平行四边形 ABCD 即为所求；
（2） 25
第三部分
19. 解不等式①，得
x>−1
解不等式②，得
x≤4∴
不等式组的解集为 −120. （1） 50；10
【解析】根据题意得：
15÷30%=50（名），
50×20%=10（名）．
（2） 补全统计图如图所示：
【解析】175 型的学生人数为：50×20%=10 （名）
185 型的学生人数为：50−3−15−15−10−5=50−48=2（名）．
（3） 14.4∘ .
【解析】185 型校服所对应的扇形圆心角为：250×360∘=14.4∘．
（4） 165 和 170；170．
【解析】165 型和 170 型出现的次数最多，都是 15 次，
则众数是 165 和 170；
共有 50 个数据，第 25 、 26 个数据都是 170，
则中位数是 170．
（5） 180
【解析】根据题意得：
600×1550=180（名）
21. （1） 如图，连接 OD．
∵BC 是 ⊙O 的切线，
∴∠ABC=90∘．
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∴∠ODC=∠ABC=90∘，即 OD⊥CD．
∵ 点 D 在 ⊙O 上，
∴CD 为 ⊙O 的切线．
（2） 在 Rt△OBF 中，
∵∠ABD=30∘，OF=1，
∴∠BOF=60∘，OB=2，BF=3，
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=23，∠BOD=2∠BOF=120∘，
∴S阴影=S扇形OBD−S△BOD=120π×22360−12×23×1=43π−3.
22. ∵ 在山脚 D 处测得塔顶 A 和塔基 B 的仰角分别为 60∘ 和 45∘，
∴ ∠ADC=60∘，∠BDC=45∘．
在 Rt△BCD 中，∠BDC=45∘，
∴ CD=CB．
在 Rt△ACD 中，tan∠ADC=ACDC，
∴ 20+BCCD=3，
∴ BC=103+1．
答：山高 BC 为 103+1 米．
23. （1） 在甲公司购买 6 台图形计算器需要用：6×800−20×6=4080 （元）
在乙公司购买 6 台图形计算器需要用：75%×800×6=3600 （元）
因为 3600<4080，故应去乙公司购买花费较少．
（2） 设此单位购买了 x 台图形计算器，
若在甲公司购买则需要花费：x800−20x=−20x2+800x （元）
若在乙公司购买则需要花费：75%×800x=600x （元）
若此单位是在甲公司花费 7500 元购买的图形计算器，
则有 −20x2+800x=7500，
解得 x=15 或 x=25．
当 x=15 时，每台单价为 800−20×15=500>440，符合题意．
当 x=25 时，每台单价为 800−20×25=300<440，不符合题意，舍去．
若此单位是在乙公司花费 7500 元购买的图形计算器，
则有 600x=7500，解得 x=12.5，不符合题意，舍去.
故此单位是在甲公司购买的图形计算器，买了 15 台．
24. （1） ∵ 直线 y=−32x+b 过矩形 OABC 对角线交点，
由题意得矩形对角线交点为 6,3，
∴ 3=−32×6+b，解得 b=12．
（2） 如图假设存在 ON 平分 ∠CNM 的情况，
当直线 PM 与边 BC 和边 OA 相交时，过 O 作 OH⊥PM 于 H．
∵ ON 平分 ∠CNM，OC⊥BC，
∴ OH=OC=6．
由（1）知 OP=12，
∴ ∠OPM=30∘，
∴ OM=OP⋅tan30∘=43．
当 y=0 时，由 −32x+12=0 解得 x=8，
∴ OD=8，
∴ DM=8−43．
当直线 PM 与直线 BC 和 x 轴相交时，
同上可得 DM=8+43 （或由 OM=MN 解得）
（3） 下；94
25. （1） ∵ 直线 y=12x+1 与 y 轴交于点 A，
∴ A 点坐标为 0,1．
∴ 抛物线 y=12x2+bx+c 过点 A0,1 点 B1,0，
∴ 1=c,0=12+b+c,
∴ b=−32,c=1,
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−32x+1．
（2） ∵ 抛物线 y=12x2−32x+1 与直线交于点 E，
∴ 12x2−32x+1=12x+1．
∴ 可求点 E 坐标为 4,3．
设 P 点坐标为 x,0，
当 PA⊥AE 垂足为 A 时，根据勾股定理可得 AE2+AP2=EP2，
42+22+12+x2=4−x2+32，x=12，
∴ P 点坐标为 12,0．
当 PE⊥AE 垂足为 E 时，根据勾股定理可知 AE2+PE2=AP2，
42+22+x−42+32=12+x2，解得 x=112，
∴ P 点坐标为 112,0．
当 PA⊥PE 垂足为 P 时，根据勾股定理可得 EP2+AP2=AE2，
42+22=4−x2+32+12+x2，x1=1，x2=3，
∴ P 点坐标为 1,0 或 3,0．
综上，当 △PAE 是直角三角形时，点 P 的坐标为 12,0 或 112,0 或 1,0 或 3,0．
（3） ∵ 抛物线 y=12x2−32x+1 与 x 轴交于 B 、 C 两点，可求点 C 的坐标为 2,0，
∴ 抛物线的对称轴为 x=32．
∵ B 、 C 关于 x=32 对称，
∴ MC=MB．
要使 AM−MC 最大，即是使 AB−MB 最大，有三角形两边之差小于第三边得：当 A 、 B 、 M 在同一直线上时，AM−MB 的值最大，易知直线 AB 的解析式 y=−x+1．
∴ 由 y=−x+1,x=32,
得 x=32,y=−12,
∴ 点 M 的坐标为 32,−12．