初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组课时练习

二元一次方程（组）的相关概念（基础）知识讲解

【学习目标】

1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；

2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.

【要点梳理】

要点一、二元一次方程

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．

要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：

（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.

（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.

（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

要点二、二元一次方程的解

    一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．

要点诠释：

(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．

(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．

要点三、二元一次方程组

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.   

要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组.

要点四、二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

要点诠释：

（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．

(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．

【典型例题】

类型一、二元一次方程

1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．

(1)2x-5＝y； (2)x-1＝4； (3)xy＝3；  (4)x+y＝6；  (5)2x-4y＝7；

(6)；(7)；(8)；(9)；(10)．

【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．

【答案】(1)(4)(5)(8)(10)

【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数x的次数为2．

【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．

举一反三：

【变式】（2015春•桃园县校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（　　）

A．=y+5x B．3x+2y=2x+2y C．x=y2+1 D．

【答案】D．

类型二、二元一次方程的解

2.二元一次方程x-2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是(   )

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

解：当x＝0，y＝时，x-2y＝1，故A是原方程的解．

    当x＝1，y＝1时，x-2y＝-1，故B不是原方程的解．

    当x＝1，y＝0时，x-2y＝1，故C是原方程的解．

    当x＝-1，y＝-1时，x-2y＝1，故D是原方程的解．

【总结升华】判断一组数值是否是原方程的解，只需要将这组数值代入原方程，能使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的解，否则，不是．

举一反三：

【变式】若方程的一个解是，则a=         .

【答案】3

3.已知二元一次方程．

(1)用含有x的代数式表示y；(2)用含有y的代数式表示x；

(3)用适当的数填空，使是方程的解．

【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．

【答案与解析】

解：(1)将方程变形为3y＝2，化y的系数为1，得．

(2)将方程变形为，化x的系数为1，得．

(3)把x＝-2代入得， y＝1．

【总结升华】用含x的代数式表示y，其实质表示为“y＝含x的代数式”的形式．在进行方程的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．

举一反三：

【变式】已知：2x+3y=7，用关于y的代数式表示x，用关于x的代数式表示y．

【答案】

解：（1）2x=7－3y， ；（2）3y=7－2x，

类型三、二元一次方程组及方程组的解

4. （2015春•道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C．

【解析】解：A是二元二次方程组，故A不是二元一次方程组；

B 是三元一次方程组，故B不是二元一次方程组；

C 是二元一次方程组，故C是二元一次方程组；

D 不是整式方程，故D不是二元一次方程组；

【总结升华】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个为指数的次数都是1的方程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．

5.判断下列各组数是否是二元一次方程组的解．

（1）    （2）

【答案与解析】

解：（1）把代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以是方程①的解．

把x＝3，y＝-5代入方程②中，左边＝，右边＝，左边≠右边，所以不是方程②的解．

所以不是方程组的解．

（2）把代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以不是方程①的解，

再把代入方程②中，左边＝x+y＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以是方程②的解，但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．

【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.

举一反三：

【变式】写出解为的二元一次方程组．

【答案】

解：此题答案不唯一，可先任构造两个以为解的二元一次方程，然后将它们用“{”联立即可，现举一例：

∵  x＝1，y＝-2，

∴  x+y＝1-2＝-1．

2x-5y＝2×1-5×(-2)＝12．

∴  就是所求的一个二元一次方程组．

 注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．