人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试导学案及答案

勾股定理全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）

 2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为的线段.

要点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

　　 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；

（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

【典型例题】

类型一、勾股定理及逆定理的简单应用 

1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．

【答案与解析】

解：设第三边为．

当为斜边时，由勾股定理得．

所以．

当为直角边时，由勾股定理，得．

所以．

所以这个三角形的第三边为10或．

【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．

举一反三：

【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．

【答案】

解：

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

由勾股定理，得．

∴  ．

同理．

∴  ．

①当∠ACB＞90°时，BC＝BD－CD＝9－5＝4．

∴ △ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32．

②当∠ACB＜90°时，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14．

∴ △ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42．

综上所述：△ABC的周长为32或42．

2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．

求证：．

【思路点拨】欲证的等式中出现了AM2、BM2、CM2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD⊥AB．

【答案与解析】

证明：过点C作CD⊥AB于D．

    ∵  AC＝BC，CD⊥AB，

    ∴  AD＝BD．

    ∵  ∠ACB＝90°，

    ∴  CD＝AD＝DB．

∴ 

    在Rt△CDM中，，

    ∴ ．

【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．

举一反三：

【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.

【答案】

解：如图，作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝CM,

则在Rt△ABM中：

……①

在Rt△ADM中：

……②

由①－②得：

                        ＝ （MC＋DM）•BD＝CD·BD

类型二、勾股定理及逆定理的综合应用 

3、（2014秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．

【思路点拨】根据勾股定理求出BE2、EF2、BF2，根据勾股定理的逆定理判断即可．

【答案与解析】

解：∵△BEF是直角三角形，

理由是：∵在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，

∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，

∵由勾股定理得：BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，BF2=BC2+CF2=42+32=25，

∴BE2+EF2=BF2，

∴∠BEF=90°，

即△BEF是直角三角形．

【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.

举一反三：

【变式】如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝，AE⊥BC于E，求AE的长．

【答案】

解：连接AD．

∵  DF是线段AB的垂直平分线，

∴  AD＝BD＝，∴  ∠BAD＝∠B＝22.5°

又∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，

∴  ∠DAE＝45°，∴  AE＝DE

由勾股定理得：，

∴  ，∴  ．

4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．

    (1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)

(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的关系并加以证明．

【答案与解析】

解：设Rt△ABC的三边BC、CA、AB的长分别为，则．

    (1) ；

    (2) ．证明如下：

    显然，，，，

    所以．

【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等．

5、如果ΔABC的三边分别为，且满足，判断ΔABC的形状.

【答案与解析】

解：由，得 ：

　　　　∴

　　　　∵

　　　　∴

　　　　∵ ,

　　　　∴ .

　　　　由勾股定理的逆定理得：△ABC是直角三角形.

【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.

类型三、勾股定理的实际应用

6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?

【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．

【答案与解析】

 解：如图②③所示．

因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB的长度．

    在图②中，由勾股定理，得．

    在图③中，由勾股定理，得．

    因为130＞100，所以图③中的AB的长度最短，为10，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10．

【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．

举一反三：

【变式】（2014秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？

【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，

∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，

∴AB==25（尺）．

答：葛藤长为25尺．