必修第二册7.1 复数的概念学案

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7.1.2 复数的几何意义【学习目标】【自主学习】一．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做，x轴叫做，y轴叫做．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．二．复数的两种几何意义注意：复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z，书写时应小写；复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时应大写．三．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为eq \o(OZ,\s\up6(→))，则eq \o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．四．共轭复数 1.一般地，当两个复数的实部，虚部时，这两个复数叫做互为共轭复数． 2.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做． 3.复数z的共轭复数用eq \o(z,\s\up6(－))表示，即如果z＝a＋bi，那么eq \o(z,\s\up6(－))＝．注意：复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(a，b)，复数eq \o(z,\s\up6(－))＝a－bi在复平面内对应的点为(a，－b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上. (　　) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(　　) (3)原点是实轴和虚轴的交点.(　　) (4)复数的模一定是正实数.(　　) (5)若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　　) (6)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|.(　　) 【经典例题】题型一复数与复平面内点的关系点拨：利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．　例1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围)． (1)Z在实轴上； (2)Z在第二象限。【跟踪训练】1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在： (1)第三象限； (2)直线x－y－3＝0上．题型二复数与复平面内向量的对应关系点拨：1.若复数z＝a＋bi(a，b∈R)则复数z在复平面内对应的向量eq \o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)． 2．复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得． 3．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变．例2 已知平面直角坐标系中O是原点，向量eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq \o(BA,\s\up6(→))对应的复数是(　　) A．－5＋5i　　　　　　　　 B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i 【跟踪训练】2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是 2＋3i, 3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．题型三复数的模点拨： 1.复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小． 2.根据复数模的计算公式|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)可把复数模的问题转化为实数问题解决． 3.根据复数模的定义|z|＝|eq \o(OZ,\s\up6(→))|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点间的距离)的问题解决．例3 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i. (1)在复平面中画出复数z1，z2对应的点和向量； (2) 求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小。【跟踪训练】3设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）|z|=1；（2）1＜|z|＜2. 【当堂达标】 1.在复平面内，O为原点，向量eq \o(OA,\s\up6(→))对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量eq \o(OB,\s\up6(→))对应的复数为(　　) A．－2－i B．2＋i C．1＋2i D．－1＋2i 2.已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是(　　) A.eq \r(5) B.eq \r(10) C．5 D．25 3.设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________。 4.若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________． 5.已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围． 6.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z. 【课堂小结】 1.复数的几何意义 2.复数的模 ①复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq \r(a2＋b2)； ②从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．【参考答案】【自主学习】复平面实轴虚轴 eq \r(a2＋b2) 相等互为相反数共轭虚数 a－bi 【小试牛刀】 (1)√　(2)×　(3) √ (4)×　(5) × (6)√ 【经典例题】例1 解因为z＝(a2－4)＋(2a－3)i，所以复数z在复平面内对应的点Z的坐标为(a2－4,2a－3)． (1)若点Z在实轴上，则有2a－3＝0，解得a＝eq \f(3,2). (2)若点Z在第二象限，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－4<0，,2a－3>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2\f(3,2)，))解得eq \f(3,2)

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