全书综合测评-2022版数学选修2-1 人教版（新课标）同步练习（Word含解析）

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这是一份全书综合测评-2022版数学选修2-1 人教版（新课标）同步练习（Word含解析），共20页。

全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“∃x0∈R,2x0-3>1”的否定是(　　)
A.∃x0∈R,2x0-3≤1　　　　B.∀x∈R,2x-3>1
C.∀x∈R,2x-3≤1　　　　D.∃x0∈R,2x0-3<1
2.设x∈R,则“x3<1”是“x-12<12”的(　　)
A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
3.已知命题p:∃x0∈R,x0-2>0;命题q:∀x≥0,x A.p∨q是假命题　　　　B.p∧q是真命题
C.p∧(¬q)是真命题　　　　D.p∨(¬q)是假命题
4.已知椭圆x2a2+y22=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则该椭圆的离心率是(　　)
A.63　　　　B.233　　　　C.22　　　　D.32
5.已知定点B(3,0),点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是(　　)
A.(x+1)2+y2=1　　　　B.(x-2)2+y2=4
C.(x-1)2+y2=1　　　　D.(x+2)2+y2=4
6.已知F1,F2是椭圆x210+y28=1的两个焦点,P为椭圆上一点,且△F1PF2是直角三角形,则△F1PF2的面积为(　　)
A.1655　　　　B.855
C.1655或8　　　　D.855或8
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论错误的是(　　)
A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12
B.A1C·(A1B1-A1A)=0
C.向量AD1与A1B的夹角是120°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|
8.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=3,E为线段AB上一点,且AE=13AB,则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(　　)

A.33535　　　　B.277　　　　C.33　　　　D.24
9.在棱长为2的正四面体ABCD中,点M满足AM=xAB+yAC-(x+y-1)AD,点N满足BN=λBA+(1-λ)BC,当AM,BN最短时,AM·MN=(　　)
A.-43　　　　B.43　　　　C.-13　　　　D.13
10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,中心为O,BF=12BC,A1E=14A1A,则四面体OEBF的体积为(　　)

A.112　　　　B.124　　　　C.148　　　　D.196
11.已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点A在双曲线上,且∠F1AF2=60°,若∠F1AF2的平分线经过线段OF2(O为坐标原点)的中点,则双曲线的离心率为(　　)
A.7　　　　B.72　　　　C.14　　　　D.142
12.正四面体ABCD的棱长为2,动点P在以BC为直径的球面上,则AP·AD的最大值为(　　)
A.2　　　　B.23　　　　C.4　　　　D.43
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知n=(1,2,-1)为平面α的一个法向量,a=(-2,λ,1)为直线l的方向向量.若l∥α,则λ=　　　　.
14.已知“命题p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题q:x2+3x-4<0成立”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
15.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为　　　　.
16.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线上,且AF2⊥F1F2,则该双曲线的离心率为　　　　,
sin∠AF1F2=　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知p:x2m-1+y2m-4=1表示双曲线,q:x2m-2+y24-m=1表示椭圆.
(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)判断“p为真命题”是“q为真命题”的什么条件?

18.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为坐标原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.

19.(本小题满分12分)如图,在圆柱O1O2中,AB为圆O1的直径,C,D是弧AB上的两个三等分点,CF是圆柱O1O2的母线.
(1)求证:CO1∥平面AFD;
(2)设AC=3,∠FBC=45°,求二面角B-AF-C的余弦值.

20.(本小题满分12分)已知动圆P过点F0,18,且与直线y=-18相切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若A,B是曲线C上的两个点且直线AB过△OAB的外心,其中O为坐标原点,求证:直线AB过定点.

21.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=AC=2,AD=22,PB=2,PB⊥AC.
(1)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(2)若∠PBA=45°,试判断在棱PA上是否存在与点P,A不重合的点E,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为69,若存在,求出AEAP的值;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=43x的焦点重合,且离心率为32.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)不过原点的直线l与椭圆C交于M,N两点,若直线OM,l,ON的斜率k1,k,k2成等比数列,求直线l的斜率及|OM|2+|ON|2的值.

答案全解全析
一、选择题
1.C　由特称命题的否定是全称命题,知命题“∃x0∈R,2x0-3>1”的否定是“∀x∈R,2x-3≤1”,故选C.
2.B　由x3<1可得x<1.由x-12<12可得0 所以“x3<1”是“x-12<12”的必要而不充分条件.故选B.
3.C　对于命题p,当x0=3时,x0-2>0,所以命题p为真.
对于命题q,当x=14时,14=12>14,所以命题q为假,¬q为真.
所以p∧(¬q)是真命题.故选C.
4.A　抛物线的焦点为(2,0),所以a2-2=4,所以a=6,所以c=6-2=2,所以椭圆的离心率为63.
5.C　设M(x,y),A(xA,yA).
由题意得x=xA+32,y=yA2,所以xA=2x-3,yA=2y,
故A(2x-3,2y).
又点A在圆(x+1)2+y2=4上,所以(2x-3+1)2+(2y)2=4,化简得(x-1)2+y2=1.
故选C.
6.B　由题意得a2=10,b2=8,
∴c2=a2-b2=2.
设椭圆的上顶点为B,由c ∠F1PF2≤∠F1BF2<90°,
因此PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2.
当PF1⊥F1F2时,|PF1|=b2a=810,
∴S△F1PF2=12|F1F2||PF1|=12×22×810=855.同理,当PF2⊥F1F2时,S△F1PF2=855.故选B.
易错警示
“△F1PF2是直角三角形”中没有说明哪个角是直角,解题时要先判断,若∠F1PF2可以是直角,本题有两解,否则仅有一解.
7.D　如图.

由正方体的性质得A1A+A1D1+A1B1=A1A+AD+DC=A1C,A1C2= |A1C|2=3|A1B1|2=3A1B12,故A正确;
由AB1⊥BC,AB1⊥A1B可得AB1⊥平面A1BC,则AB1⊥A1C,所以AB1·A1C=0,即A1C·(A1B1-A1A)=0,故B正确;
由正方体的性质可得AD1∥BC1,易知△BC1A1为等边三角形,所以∠A1BC1=60°,所以向量AD1与A1B的夹角是120°,故C正确;
因为AB⊥AA1,所以|AB·AA1·AD|=0,故D错误.故选D.
8.A　以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C1(0,3,1),D1(0,0,1),E(1,1,0),C(0,3,0),D(0,0,0), ∴DC1=(0,3,1),D1E=(1,1,-1),D1C=(0,3,-1).
设平面D1EC的一个法向量为n=(x,y,z),则n·D1E=x+y-z=0,n·D1C=3y-z=0,取y=1,则z=3,x=2,∴n=(2,1,3).
cos=(0,3,1)·(2,1,3)10×14=6140=33535,所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为33535.故选A.
9.A　由共面向量定理和共线向量定理可知,M∈平面BCD,N∈直线AC.当AM,BN最短时,AM⊥平面BCD,BN⊥AC,
∴M为△BCD的中心,N为AC的中点.
∴|MC|=233.
∵AM⊥平面BCD,MC⊂平面BCD,
∴AM⊥MC,
∴|MA|=|AC|2-|MC|2
=22-2332=263.
又MN=12(MC+MA),
∴AM·MN=12(AM·MC+AM·MA)
=-12|MA|2=-43.故选A.
10.D　如图所示,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则O12,12,12,B(1,1,0),E1,0,34,F12,1,0,
∴OE=12,-12,14,OB=12,12,-12,BE=0,-1,34,
则|OE|=34,|OB|=32,|BE|=54,
∴cos∠BOE=-39,所以sin∠BOE=789.
∴S△OEB=12×34×32×789=2616.
设平面OEB的法向量为n=(x,y,z),
则n·OE=12x-12y+14z=0,n·OB=12x+12y-12z=0,取z=1,得n=14,34,1.又BF=-12,0,0,
∴F到平面OEB的距离h=|n·BF||n|=18264=2652.
∴四面体OEBF的体积V=13S△OEB×h=13×2616×2652=196.
11.B　不妨设点A在第一象限,∠F1AF2的平分线交x轴于点M.因为点M是线段OF2的中点,所以|F1M|∶|MF2|=3∶1.根据角平分线定理可知|AF1||AF2|=31,又因为|AF1|-|AF2|=2a,所以|AF1|=3a,|AF2|=a.由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2×3a×a×12
=7a2,所以c2a2=74.所以e=ca=72.
12.C　设BC的中点为M,连接MD,以M为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则A33,0,263,D(3,0,0).
设P(x,y,z),则AP=x-33,y,z-263,AD=233,0,-263,
∴AP·AD=233x-263z+2.
由题意得P在以M为球心,1为半径的球面上.
∴x2+y2+z2=1,
∴0≤y≤1,0≤x2+z2≤1.
令233x-263z+2=m,
则直线233x-263z+2-m=0与圆x2+z2=1相切时,截距取得最值.
由|2-m|2332+-2632=1,解得m=0或m=4.
∴AP·AD的最大值为4.故选C.
二、填空题
13.答案　32
解析　由题意得, n·a=(1,2,-1)·(-2,λ,1)=-2+2λ-1=0,解得λ=32.
14.答案　(-∞,-7]∪[1,+∞)
解析　p:{x|x>m+3或x 则{x|-4m+3或x 故m的取值范围为(-∞,-7]∪[1,+∞).
15.答案　y=±3x
解析　因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,
所以e=c2a2=a2+b2a2=2,所以b2a2=3.
所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±3x.
16.答案　3;12
解析　由双曲线的一条渐近线方程为y=2x,得b=2a,c=3a,故e=3.
∵AF2⊥F1F2,∴不妨取Ac,b2a,
∴sin∠AF1F2=AF2AF1=b2ab2a+2a=12.
三、解答题
17.解析　(1)当命题p为真命题时,
(m-1)(m-4)<0, (3分)
解得1 因此,实数m的取值范围是(1,4). (5分)
(2)当命题q为真命题时,
m-2>0,4-m>0,m-2≠4-m,解得2 ∵{m|1 ∴“p为真命题”是“q为真命题”的必要不充分条件. (10分)
18.解析　(1)由题意得椭圆C的标准方程为x24+y22=1. (1分)
所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2. (3分)
因此a=2,c=2.
故椭圆C的离心率e=ca=22. (5分)
(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0. (6分)
因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,
即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0. (7分)
又x02+2y02=4,
所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=x0+2y0x02+(y0-2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+ 4-x022+2(4-x02)x02+4
=x022+8x02+4(0 因为x022+8x02≥4(0 故线段AB长度的最小值为22. (12分)
19.解析　(1)证明:连接DC,O1D.
因为C,D是弧AB上的两个三等分点,
所以∠AO1D=∠DO1C=∠CO1B=60°. (1分)
又O1A=O1B=O1C=O1D,
所以△AO1D,△CO1D,△BO1C均为等边三角形.
所以O1A=AD=DC=CO1,
所以四边形ADCO1是平行四边形.
所以CO1∥AD, (3分)
因为CO1⊄平面AFD,AD⊂平面AFD,
所以CO1∥平面AFD. (4分)
(2)因为FC是圆柱O1O2的母线,
所以FC⊥平面ABC,所以FC⊥BC,FC⊥AC.
因为AB为圆O1的直径,所以∠ACB=90°,即AC⊥BC.
在Rt△ABC中,∠ABC=60°,AC=3,
所以BC=ACtan60°=1.
在Rt△FBC中,FC=BC·tan 45°=1. (5分)
以C为坐标原点,CA,CB,CF所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,1,0),F(0,0,1),所以AB=(-3,1,0),AF=(-3,0,1). (6分)

设平面AFB的法向量为n=(x,y,z),
则AB·n=0,AF·n=0,即-3x+y=0,-3x+z=0,
令x=1,则y=z=3,
所以平面AFB的一个法向量为n=(1,3,3). (8分)
易知平面AFC的一个法向量为m=(0,1,0).(9分)
所以cos=m·n|m||n|=37=217. (11分)
结合图形得二面角B-AF-C的余弦值为217. (12分)
20.解析　(1)设点P(x,y),则(x-0)2+y-182=y+18, (3分)
整理得x2=12y,
∴曲线C的方程为x2=12y. (4分)
(2)证明:由题意可知直线AB的斜率一定存在,否则其与曲线C不能有两个交点.(6分)
设直线AB的方程为y=kx+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+m,x2=12y,
整理得2x2-kx-m=0,
则x1+x2=k2,x1x2=-m2,Δ=k2+8m>0. (8分)
∴y1y2=2x12·2x22=4(x1x2)2=4×-m22=m2. (10分)
∵直线AB过△AOB的外心,∴OA⊥OB.
∴OA·OB=x1x2+y1y2=0,
∴-m2+m2=0,m≠0,解得m=12. (11分)
当m=12时,满足Δ>0.
∴直线AB过定点0,12. (12分)
21.解析　(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,AD=22,所以BC=AD=22.
又AB=AC=2,所以AB2+AC2=BC2,所以AC⊥AB. (2分)
又PB⊥AC,且AB∩PB=B,所以AC⊥平面PAB. (4分)
因为AC⊂平面PAC,所以平面PAB⊥平面PAC. (5分)
(2)由(1)知AC⊥AB,AC⊥平面PAB,所以分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴,平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系Axyz,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(1,0,1),所以AC=(0,2,0),BC=(-2,2,0),
AP=(1,0,1),BP=(-1,0,1). (7分)
假设在棱PA上存在点E,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为69.
设AEAP=λ(0<λ<1),则AE=λAP=(λ,0,λ),所以CE=AE-AC=(λ,-2,λ). (8分)
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则n·BC=0,n·BP=0,即-2x+2y=0,-x+z=0,令z=1,可得x=y=1,
所以平面PBC的一个法向量为n=(1,1,1).(10分)
设直线CE与平面PBC所成的角为θ,
则sin θ=|cos|=|λ-2+λ|3·λ2+(-2)2+λ2=|2λ-2|3·2λ2+4=69,
解得λ=12或λ=74(舍).
所以存在AEAP=12,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为69. (12分)
22.解析　(1)依题意得c=3,ca=32,
∴a=2.
又a2-b2=3,∴b=1. (3分)
∴椭圆C的方程为x24+y2=1. (4分)
(2)设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).
由y=kx+m,x24+y2=1,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
Δ=(8km)2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
∴x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2. (6分)
由题意知k2=k1k2=y1y2x1x2=(kx1+m)(kx2+m)x1x2=k2+km(x1+x2)+m2x1x2,
∴km(x1+x2)+m2=0,∴-8k2m21+4k2+m2=0.
∵m≠0,∴k2=14,解得k=±12. (8分)
∴(x1+x2)2=-8km1+4k22=4m2,
x1x2=4(m2-1)1+4k2=2(m2-1). (9分)
∴|OM|2+|ON|2=x12+y12+x22+y22=x12+1-14x12+x22+1-14x22=34(x12+x22)+2=34[(x1+x2)2-2x1x2]+2=34[4m2-4(m2-1)]+2=5. (11分)
故直线l的斜率k=±12,|OM|2+|ON|2=5.(12分)