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2023届高考一轮复习讲义(理科)第四章 三角函数、解三角形 第1讲 高效演练分层突破学案
展开1.若角α的终边经过点P(1,eq \r(3)),则cs α+tan α的值为( )
A.eq \f(1+2\r(3),2) B.eq \f(-1+\r(3),2)
C.eq \f(1+\r(3),2) D.eq \f(-1+2\r(3),2)
解析:选A.因为角α的终边经过点P(1,eq \r(3)),则x=1,y=eq \r(3),r=|OP|=2,所以cs α=eq \f(x,r)=eq \f(1,2),tan α=eq \f(y,x)=eq \r(3),那么cs α+tan α=eq \f(1+2\r(3),2),故选A.
2.若角α与β的终边关于x轴对称,则有( )
A.α+β=90°
B.α+β=90°+k·360°,k∈Z
C.α+β=2k·180°,k∈Z
D.α+β=180°+k·360°,k∈Z
解析:选C.因为α与β的终边关于x轴对称,所以β=2k·180°-α,k∈Z,所以α+β=2k·180°,k∈Z.
3.已知点P(tan α,cs α)在第三象限,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选B.由题意知tan α<0,cs α<0,故sin α>0,根据三角函数值的符号规律可知,角α的终边在第二象限.故选B.
4.已知点P(sin x-cs x,-3)在第三象限,则x的可能区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,4),\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3π,4),\f(π,4)))
解析:选D.由点P(sin x-cs x,-3)在第三象限,可得sin x-cs x<0,即sin x
A.1 B.-1
C.3 D.-3
解析:选B.由α=2kπ-eq \f(π,5)(k∈Z)及终边相同的角的概念知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cs θ>0,tan θ<0.
所以y=-1+1-1=-1.
6.已知α是第二象限角,P(x,eq \r(5))为其终边上一点,且cs α=eq \f(\r(2),4)x,则x=________.
解析:因为cs α=eq \f(x,\r(x2+5))=eq \f(\r(2),4)x,所以x=0或x=eq \r(3)或x=-eq \r(3),又α是第二象限角,所以x=-eq \r(3).
答案:-eq \r(3)
7.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是________.
解析:设圆半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,所以正方形边长为eq \r(2)r,所以圆心角的弧度数是eq \f(\r(2)r,r)=eq \r(2).
答案:eq \r(2)
8.已知点P(sin θ,cs θ)是角α终边上的一点,其中θ=eq \f(2π,3),则与角α终边相同的最小正角为________.
解析:因为θ=eq \f(2π,3),故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2),-\f(1,2))),故α为第四象限角且cs α=eq \f(\r(3),2),所以α=2kπ+eq \f(11π,6),k∈Z,所以与角α终边相同的最小正角为eq \f(11π,6).
答案:eq \f(11π,6)
9.已知eq \f(1,|sin α|)=-eq \f(1,sin α),且lg(cs α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限;
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5),m)),且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
解:(1)由eq \f(1,|sin α|)=-eq \f(1,sin α),得sin α<0,
由lg(cs α)有意义,可知cs α>0,
所以α是第四象限角.
(2)因为|OM|=1,所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)+m2=1,解得m=±eq \f(4,5).
又α为第四象限角,故m<0,从而m=-eq \f(4,5),
sin α=eq \f(y,r)=eq \f(m,|OM|)=eq \f(-\f(4,5),1)=-eq \f(4,5).
10.若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0).
(1)求sin θ+cs θ的值;
(2)试判断cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号.
解:(1)因为角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0),
所以x=-4a,y=3a,r=5|a|,
当a>0时,r=5a,sin θ+cs θ=-eq \f(1,5).
当a<0时,r=-5a,sin θ+cs θ=eq \f(1,5).
(2)当a>0时,sin θ=eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),
cs θ=-eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),0)),
则cs(sin θ)·sin(cs θ)
=cs eq \f(3,5)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,5)))<0;
当a<0时,sin θ=-eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),0)),
cs θ=eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),
则cs(sin θ)·sin(cs θ)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,5)))·sin eq \f(4,5)>0.
综上,当a>0时,cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号为负;
当a<0时,cs(sin θ)·sin (cs θ)的符号为正.
[综合题组练]
1.(2020·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sin α,3)(sin α≠0),则cs α=( )
A.eq \f(1,2) B.-eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D.-eq \f(\r(3),2)
解析:选A.由三角函数定义得tan α=eq \f(3,2sin α),即eq \f(sin α,cs α)=eq \f(3,2sin α),得3cs α=2sin2α=2(1-cs2α),解得cs α=eq \f(1,2)或cs α=-2(舍去).故选A.
2.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )
A.若α,β是第一象限的角,则cs α>cs β
B.若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限的角,则cs α>cs β
D.若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β
解析:选D.由三角函数线可知选D.
3.如图,在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点.若圆弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α弧度,则eq \f(α,tan α)=________.
解析:设扇形的半径为r,则扇形的面积为eq \f(1,2)αr2,在Rt△POB中,PB=rtan α,则△POB的面积为eq \f(1,2)r·rtan α,由题意得eq \f(1,2)r·rtan α=2×eq \f(1,2)αr2,所以tan α=2α,所以eq \f(α,tan α)=eq \f(1,2).
答案:eq \f(1,2)
4.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从A点出发,P沿着直线l向右运动,Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q运动到点A时,点P也停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是________.
解析:设运动速度为m,运动时间为t,圆O的半径为r,
则eq \(AQ,\s\up8(︵))=AP=tm,根据切线的性质知OA⊥AP,
所以S1=eq \f(1,2)tm·r-S扇形AOB,S2=eq \f(1,2)tm·r-S扇形AOB,
所以S1=S2恒成立.
答案:S1=S2
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.
(1)若点B的横坐标为-eq \f(4,5),求tan α的值;
(2)若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合;
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(2π,3))),请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.
解:(1)由题意可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,5),\f(3,5))),
根据三角函数的定义得tan α=eq \f(y,x)=-eq \f(3,4).
(2)若△AOB为等边三角形,则∠AOB=eq \f(π,3),故与角α终边相同的角β的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β|β=\f(π,3)+2kπ,k∈Z)).
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(2π,3))),则S扇形=eq \f(1,2)αr2=eq \f(1,2)α,
而S△AOB=eq \f(1,2)×1×1×sin α=eq \f(1,2)sin α,故弓形的面积S=S扇形-S△AOB=eq \f(1,2)α-eq \f(1,2)sin α,α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(2π,3))).
6.已知sin α<0,tan α>0.
(1)求角α的集合;
(2)求eq \f(α,2)终边所在的象限;
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号.
解:(1)因为sin α<0且tan α>0,
所以α是第三象限角,故角α的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ+π<α<2kπ+\f(3π,2),k∈Z)))).
(2)由(1)知2kπ+π<α<2kπ+eq \f(3π,2),k∈Z,
故kπ+eq \f(π,2)
(3)法一:当eq \f(α,2)是第二象限角时,
tan eq \f(α,2)<0,sin eq \f(α,2)>0,cs eq \f(α,2)<0,
故tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0,
当eq \f(α,2)是第四象限角时,
tan eq \f(α,2)<0,sin eq \f(α,2)<0,cs eq \f(α,2)>0,
故tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0.
法二:tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)=eq \f(sin\f(α,2),cs \f(α,2))·sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)=sin2 eq \f(α,2).
由于eq \f(α,2)是第二象限角或第四象限角,
所以sin2 eq \f(α,2)>0,
综上,tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号.
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2023届高考一轮复习讲义(理科)第四章 三角函数、解三角形 第3讲 第1课时 高效演练分层突破学案: 这是一份2023届高考一轮复习讲义(理科)第四章 三角函数、解三角形 第3讲 第1课时 高效演练分层突破学案,共8页。
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