北师大版必修2第二章 解析几何初步综合与测试练习题

这是一份北师大版必修2第二章 解析几何初步综合与测试练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是( D )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
[解析] 由圆的标准方程的形式直接写出方程即可．
2．过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是( A )
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝0
[解析] 设直线方程为2x＋y＋m＝0且过点(－1,3)，故m＝－1，∴所求直线的方程为：2x＋y－1＝0．
3．下列说法正确的是( C )
A．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
B．若两直线关于x轴对称，则此二直线斜率互为倒数
C．若与x轴不垂直的两直线关于y轴对称，则此二直线斜率互为相反数
D．若两直线垂直，则此二直线斜率互为负倒数
[解析] A倾斜角为钝角时，斜率小于0；倾斜角为锐角时，斜率大于0.B两直线关于x轴对称，斜率一正一负，不可能互为倒数．D分别平行于x，y轴的两直线垂直，其中一直线斜率不存在．
4．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于( D )
A．eq \f(3,2) B．2
C．－1D．2或－1
[解析] 由a·(a－1)－2×1＝0得a2－a－2＝0，
∴a＝2或－1．
5．已知A(－4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于( A )
A．8B．12
C．16D．19
[解析] A1(－4，－2,3)，A2(4,2,3)，
∴|AA2|＝eq \r(4＋42＋2－22＋3－32)＝8．
6．(2019·北京市综合能力测试)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是( D )
A．点B．直线
C．线段D．圆
[解析] ∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，故圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．
7. 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，则( C )
A．D＝0，E＝0，F≠0B．E＝0，F＝0，D≠0
C．D＝0，F＝0，E≠0D．F＝0，D≠0，E≠0
[解析] ∵方程表示的圆与x轴切于原点，
∴这个圆过原点且圆心在y轴上，∴F＝0，D＝0，E≠0．
8．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过( D )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[解析] 由(a－3)x＋2ay＋6＝0，得
(x＋2y)a＋(6－3x)＝0.令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝0，,6－3x＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))
∴直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)．
从而该直线恒过第四象限．
9．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( B )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
[解析] 由圆心在直线x＋y＝0上，不妨设为C(a，－a)，∴r＝eq \f(|a－－a|,\r(2))＝eq \f(|a－－a－4|,\r(2))，
解得a＝1，r＝eq \r(2)，
∴圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
10．直线l1与直线l2：3x＋2y－12＝0的交点在x轴上，并且l1⊥l2，则l1在y轴上的截距是( C )
A．－4B．4
C．－eq \f(8,3)D．eq \f(8,3)
[解析] ∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1．
∴k1＝－eq \f(1,k2)＝－eq \f(1,－\f(3,2))＝eq \f(2,3)．
∴设l1方程为y＝eq \f(2,3)x＋b，l2与x轴交点为(4,0)代入l1得b＝－eq \f(8,3)．
11．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是( A )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
[解析] 由条件O，A，B，P四点共圆，从而OP中点(2,1)为所求圆的圆心，半径r＝eq \f(1,2)|OP|＝eq \r(5)，故所求圆方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
12．使得方程eq \r(16－x2)－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围是( B )
A．－4eq \r(2)≤m≤4eq \r(2)B．－4≤m≤4eq \r(2)
C．－4≤m≤4D．4≤m≤4eq \r(2)
[解析] 设f(x)＝eq \r(16－x2)，g(x)＝x＋m，在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图形，如图所示．则m是直线y＝x＋m在y轴上的截距．由图可知－4≤m≤4eq \r(2).第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__2eq \r(2)__．
[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想．
点(3,1)在圆内，要使弦长最短，需圆心C(2,2)与点N(3,1)所在直线与弦垂直，此时|CN|＝eq \r(2)，则弦长为2eq \r(4－2)＝2eq \r(2)．
14．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__2__．
[解析] 直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A、B两点，∠AOB＝120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x－4y＋5＝0的距离为eq \f(1,2)r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．如图，直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则圆心(0,0)到直线3x－4y＋5＝0的距离为eq \f(1,2)r，
即eq \f(5,\r(32＋42))＝eq \f(1,2)r，∴r＝2.故答案为2．
15．过点A(0,1)与B(4,0)的直线l1与过点(4,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为__－4__．
[解析] 当围成四边形内接于一个圆时，l1⊥l2，
∴k1·k2＝－1，而k1＝－eq \f(1,4)，∴k2＝4.解得k＝－4．
16．(2019·浙江卷，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__－2__，r＝__eq \r(5)__．
[解析] 根据题意画出图形，可知
A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，
则AB＝eq \r(－2－02＋－1－32)＝2eq \r(5)，
AC＝eq \r(－2－02＋－1－m2)＝eq \r(4＋m＋12)，
BC＝|m－3|．
∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，
∴∠BAC＝90°，∴AB2＋AC2＝BC2．
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，
解得m＝－2．
因此r＝AC＝eq \r(4＋－2＋12)＝eq \r(5)．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0．
求：(1)直线l的方程；
(2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝2.))则点P的坐标是(－2,2)，由于所求直线l与x－2y－1＝0垂直，可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0．
把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2.故所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0．
(2)由直线l的方程知它在x轴，y轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝eq \f(1,2)×1×2＝1．
18．(本小题满分12分)过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
[解析] ∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
∴点A在圆外．
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以eq \f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(15,8)．
所以切线方程为y＋3＝－eq \f(15,8)(x－4)，即15x＋8y－36＝0．
(2)若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4．
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．
19．(本小题满分12分)如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，AC与BD交于点G．
(1)试建立适当的空间直角坐标系，求P，A，E，G的坐标；
(2)求|EG|．
[解析] (1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)．
因为E是PC的中点，
所以E点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，\f(a,2)))．
因为在正方形ABCD中，G是AC的中点，
所以G点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))．
(2)|EG|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(a,2)))2)＝eq \f(\r(2),2)a．
20．(本小题满分12分)直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋1和x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，如果在第一象限内有一点P(m，eq \f(1,2))使得△ABP和△ABC的面积相等，求m的值．
[解析] 如图所示，
∵直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋1和x轴，y轴分别交于点A，B，∴A(eq \r(3)，0)，B(0,1)，
∴|AB|＝2．
又∵△ABP和△ABC的面积相等，
∴CP∥AB，故可设CP的方程为：y＝－eq \f(\r(3),3)x＋c(c>1)．
依题意由S△ABP＝S△ABC得eq \f(|c－1|,\r(1＋\f(1,3)))＝eq \r(3)，∴c＝3，
∴直线CP的方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x＋3，
又点P(m，eq \f(1,2))在直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋3上，
所以eq \f(1,2)＝－eq \f(\r(3),3)m＋3，解得m＝eq \f(5\r(3),2)．
所以m的值为eq \f(5\r(3),2)．
21．(本小题满分12分)过点A(0,1)，B(4，m)且与x轴相切的圆有且只有一个，求实数m的值和这个圆的方程．
[解析] 由题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，
∵点A(0,1)，B(4，m)在圆上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＝1＋a2，①,4－a2＋m2－2bm＝0.②))
将①代入②并整理得：
(1－m)a2－8a＋16＋m2－m＝0.③
∵满足条件的圆有且只有1个，
∴方程③有且只有1个根，
∴m＝1或Δ＝64－4(1－m)(16＋m2－m)＝0，
即m＝1或m(m2－2m＋17)＝0.∴m＝1或m＝0．
当m＝1时，所求圆的方程为(x－2)2＋(y－eq \f(5,2))2＝eq \f(25,4)；
当m＝0时，所求圆的方程为(x－4)2＋(y－eq \f(17,2))2＝eq \f(289,4)．
22．(本小题满分12分)已知圆心为C的圆经过点A(－1,1)和B(－2，－2)，且圆心在直线L：x＋y－1＝0上，
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值；
(3)若直线kx－y＋5＝0被圆C所截得的弦长为8，求k的值．
[解析] (1)AB中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(1,2)))，kAB＝3，
则AB中垂线l的方程为y＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))，
即y＝－eq \f(1,3)x－1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,3)x－1，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2.))
∴l与L的交点即为圆心C(3，－2)，半径r＝|AC|＝5，
∴圆C的标准方程为：(x－3)2＋(y＋2)2＝25．
(2)∵圆心C到直线x－y＋5＝0的距离为
d＝eq \f(|3＋2＋5|,\r(2))＝5eq \r(2)>r，
∴直线与圆C相离，则|PQ|的最小值为d－r＝5eq \r(2)－5．
(3)由条件可知：圆心C到直线的距离为
d＝eq \r(52－42)＝3．
根据点到直线的距离公式得：eq \f(|3k＋2＋5|,\r(k2＋1))＝3，
解得：k＝－eq \f(20,21)．