第八章 第八节第一课时 圆锥曲线几何特征的转化课件PPT

课时跟踪检测（五十五）  圆锥曲线几何特征的转化

1．已知椭圆M：＋＝1，点F1，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l(不与x轴重合)交椭圆M于A，B两点．

(1)求椭圆M的离心率及短轴长．

(2)问：是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意知，椭圆M的离心率e＝＝，短轴长2b＝2.

(2)设点B(x0，y0)，由题意知点F1(－1,0)，C(－2，0)．

假设存在满足题意的直线l，则BC⊥BF1，

即BC·BF1＝0，得(－2－x0，－y0)·(－1－x0，－y0)＝0，即(x0＋2)(x0＋1)＋y＝0.①

又知点B(x0，y0)满足＋＝1. ②

联立①②，解得x0＝－2或x0＝－10.

由椭圆方程知，x0＝－2或x0＝－10均不满足题意，故舍去．

因此，不存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上．

2．已知动点P到直线l：x＝4的距离是到点F(1,0)距离的2倍，记点P的轨迹为        曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)记曲线C与x轴交于A，B两点，Q(4,0)，设M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一交点分别为D，E.求证：Q，D，E三点共线．

解：(1)动点P到直线l：x＝4的距离是到点F(1,0)距离的2倍，设点P(x，y)．

则＝2，化简得＋＝1.

故曲线C的方程为＋＝1.

(2)证明：由(1)可得A(－2,0)，B(2,0)．设M(1，m)．

直线MA的方程为y＝(x＋2)，与椭圆方程＋＝1联立化简得(4m2＋27)x2＋16m2x＋16m2－108＝0.

则－2xD＝，可得xD＝，yD＝.

同理可得：xE＝，yE＝.

∴kQD＝＝－，kQE＝＝－，

∴kQD＝kQE.∴Q，D，E三点共线．

3．(2021·福州一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1,0)，过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点M(－4,0)，过F作直线l交椭圆于A，B两点，证明：∠FMA＝∠FMB.

解：(1)由题意可知c＝1，把x＝－1代入椭圆方程可得＋＝1，解得y＝±，

∴＝，又a2＝b2＋1，可得a＝2，b＝，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)证明：当直线l的斜率不存在时，由对称性可知：∠FMA＝∠FMB.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，

代入椭圆方程可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

∴kAM＋kBM＝＋

＝

＝.

∵2x1x2＋5(x1＋x2)＋8＝－＋8＝0，

∴kAM＋kBM＝0，∴∠FMA＝∠FMB.

综上，∠FMA＝∠FMB.

4．(2021·北京西城区高三模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点C(0,1)，离心率为.O为坐标原点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点(不在坐标轴上)，直线CD交x轴于点P，Q为直线AD上一点，且·＝4，求证：C，B，Q三点共线．

解：(1)由题意，得b＝1，＝.

又a2＝b2＋c2，

所以a＝2，c＝.

故椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)证明：A(－2,0)，B(2,0)．

设D(x0，y0)(x0y0≠0)，则＋y＝1.

因为C(0,1)，所以直线CD的方程为y＝x＋1，

令y＝0，得x＝，故点P的坐标为.

设Q(xQ，yQ)，由·＝4，得xQ＝(显然xQ≠±2)．

直线AD的方程为y＝(x＋2)，

将xQ代入直线AD的方程，得yQ＝，

即Q.

显然直线BQ的斜率存在，

且kBQ＝＝

＝＝＝－.

又直线BC的斜率kBC＝－，

所以kBC＝kBQ，即C，B，Q三点共线．

5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，O是坐标原点．

(1)若直线l过点F且|AB|＝8，求直线l的方程；

(2)已知点E(－2,0)，若直线l不与坐标轴垂直，且∠AEO＝∠BEO，证明：直线l过     定点．

解：(1)焦点F(1,0)，显然直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为x＝my＋1，

与y2＝4x联立得y2－4my－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，

所以|AB|＝

＝ ＝4(1＋m2)，

由|AB|＝8，解得m＝±1,

所以直线l的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋b(m≠0)，与y2＝4x联立得y2－4my－4b＝0，

可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4b.

由∠AEO＝∠BEO得kEA＝－kEB，即＝－，

整理得y1x2＋2y1＋x1y2＋2y2＝0，

即y1(my2＋b)＋2y1＋(my1＋b)y2＋2y2＝0，

整理得2my1y2＋(b＋2)(y1＋y2)＝0,

即－8bm＋4(b＋2)m＝0，即b＝2.

故直线l的方程为x＝my＋2，过定点(2,0)．