第九章 第一节 随机抽样与用样本估计总体课件PPT

课时跟踪检测（五十九）  随机抽样与用样本估计总体

[素养落实练]

1．(多选)(2020·泰安高三期末)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 500辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是(　　)

A．应采用分层随机抽样抽取

B．应采用抽签法抽取

C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆

D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

解析：选ACD　因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层随机抽样，选项A正确．因为个体数目多，用抽签法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有很好的代表性，故选项B不正确．抽样比为 ＝，三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆，选项C正确．分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同， 故选项D正确．故选A、C、D.

2．某公司决定利用随机数表对今年新招聘的800名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程度，先将这800名员工进行编号，编号分别为001,002，…，799,800，从中抽取80名进行调查，下面提供随机数表的第4行到第6行：

32 21 18 34 29　78 64 54 07 32　52 42 06 44 38

12 23 43 56 77　35 78 90 56 42

84 42 12 53 31　34 57 86 07 36　25 30 07 32 86

23 45 78 89 07　23 68 96 08 04

32 56 78 08 43　67 89 53 55 77　34 89 94 83 75

22 53 55 78 32　43 77 89 23 45

若从表中第5行第6列开始向右依次读取3个数据，则抽到的第5名员工的编号是(　　)

A．007　　　　　　　 B．253

C．328  D．736

解析：选A　根据随机数的定义，以及随机数表的读法，前5名员工的编号是253,313,457,736,007，故选A.

3．(2020·武威八中高二期末)对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(　　)

A．0.09  B．0.20

C．0.25  D．0.45

解析：选D　由图可知，二等品的概率为1－(0.02＋0.06＋0.03)×5＝0.45.所以从该批产品中随机抽取1件，则其是二等品的概率为0.45.

4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)

A．0.5  B．0.6

C．0.7  D．0.8

解析：选C　设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，

则x＋80－60＝90，解得x＝70，

所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.

5．(2021·盐城调研)某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示(单位：万元)，下列说法中错误的是(注：月结余＝月收入－月支出)(　　)

A．上半年的平均月收入为45万元

B．月收入的方差大于月支出的方差

C．月收入的中位数为70

D．月结余的众数为30

解析：选C　由图可得，上半年的平均月收入为＝45万元，故A正确；由图可得，月收入的方差大于月支出的方差，故B正确；由图可得，1～12月的月收入(单位：万元)分别为：40,60,30,30,50,60,80,70,70,80,90,80，所以月收入的中位数为：＝65，故C错误；由图可得，1～12月的月结余(单位：万元)分别为：20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30，所以月结余的众数为30，故D正确．

6．(2020·邢台二模)某科考试成绩公布后，发现判错一道题，经修改后重新公布，下表是抽取10名学生的成绩，依据这些信息修改后的成绩与修改前的相比，这10名学生成绩的(　　)

A．平均分、方差都变小

B．平均分、方差都变大

C．平均分不变、方差变小

D．平均分不变、方差变大

解析：选D　∵1＝×(126＋130＋104＋100＋133＋123＋100＋120＋139＋103)＝117.8，

2＝×(126＋135＋99＋100＋138＋123＋95＋120＋144＋98)＝117.8，

∴平均分不变．

∵修改后的成绩与平均分对照，波动更大，∴方差变大．

7．(多选)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，分别绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是(　　)

A．甲的六大能力中推理能力最差

B．甲的空间能力优于计算能力

C．乙的创造能力优于甲的创造能力

D．乙的六大能力整体水平低于甲

解析：选ABD　由六维能力雷达图，可得：对于A中，甲的推理能力为3比其他能力都低，所以A正确；对于B中，甲的空间想象能力是5，计算能力是4，故甲的空间能力优于计算能力，所以B正确；对于C中，乙的创造能力为3，甲的创造能力为4，所以乙的创造能力低于甲的创造能力，所以C不正确；对于D中，乙的六大能力整体水平为乙＝   (5＋5＋4＋4＋3＋3)＝4，甲的六大能力整体水平为甲＝(3＋4＋4＋5＋5＋4)＝，可得乙<甲，即乙的六大能力整体水平低于甲，所以D正确．

8．等差数列x1，x2，x3，…，x9的公差为1，若以上述0数据x1，x2，x3，…，x9为样本，则此样本的方差为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C．60  D．30

解析：选A　由等差数列的性质得样本的平均数为＝＝x5，所以该组数据的方差为＝＝.

9．(2021·临沂模拟)如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增长率小于10月7日成交量的增长率．则上述判断正确的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选B　7天假期的楼房认购量按由小到大顺序为：91,100,105,107,112,223,276；

成交量按由小到大顺序为：8,13,16,26,32,38,166.

对于①，日成交量的中位数是26，故错误；

对于②，日平均成交量为：≈42.7，有1天日成交量超过日平均成交量，故错误；

对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错误；

对于④，10月7日认购量的增长率小于10月7日成交量的增长率，故正确．

10．某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9∶8∶8，教务处为了解学生“停课不停学”期间在家的网络学习情况，现采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取容量为100的样本进行调查，则应从高三年级抽取________名学生．

解析：因为高一、高二、高三年级的学生人数之比为9∶8∶8，所以高三年级学生占比为：＝，所以根据分层抽样的方法应从高三年级抽取×100＝32名学生．

答案：32

11．(2021·南京模拟)将6个数据1,2,3,4,5，a去掉最大的一个，剩下的5个数据的平均数为1.8，则a＝________.

解析：若a是最大的数，则＝3，不符合题意．故5是最大的数，则＝1.8，解得a＝－1.

答案：－1

12．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国．口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产．设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x，x，x，x，x的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩________十万只．

解析：依题意，得x＋x＋…＋x＝20.设x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，

根据方差的计算公式有[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2]＝1.44.

∴(x＋x＋…＋x)－2(x1＋x2＋…＋x5)＋52＝7.2，即20－102＋52＝7.2，

解得＝1.6.

答案：1.6

13．(2020·汕头二模)2020年初，新冠肺炎疫情暴发，全国中小学生响应教育部关于“停课不停学”居家学习的号召．因此，网上教学授课在全国范围内展开，为了解线上教学效果，根据学情要对线上教学方法进行调整，从而使大幅度地提高教学效率．近期某市组织高一年级全体学生参加了某项技能操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A，B校60名学生的成绩，得到样本数据如下：

B校样本数据统计图

(1)计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；

(2)从A校样本数据成绩分别为7分，8分和9分的学生中按分层抽样的方法抽取6人，从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和不小于15的概率．

解：(1)从A校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分，5分，6分，7分，8分，9分的学生分别有：6人，15人，21人，12人，3人，3人．

A校样本的平均成绩为A＝×(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6(分)，

A校样本的方差为s＝×(6×4＋15×1＋12×1＋3×4＋3×9)＝1.5.

从B校样本数据统计表可知：B校样本的平均成绩为B＝×(4×9＋5×12＋6×21＋7×9＋8×6＋9×3)＝6(分)，

B校样本的方差为s＝×(9×4＋12×1＋9×1＋6×4＋3×9)＝1.8.

因为A＝B，所以两校学生的某项技能操作比赛成绩平均分相同，又因为s＜s， 所以A校的学生的某项技能操作比赛成绩比较稳定，总体得分情况比B校好．

(2)依题意，A校成绩为7分的学生应抽取的人数为×12＝4人，设为a，b，c，d；

成绩为8分的学生应抽取的人数为：×3＝1人，设为e；

成绩为9分的学生应抽取的人数为：×3＝1人，设为f.

所以所有基本事件有：

ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个，

其中，满足条件的基本事件有：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共9个，

所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15概率为P＝＝.

14．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下所示．

(1)求出表中M，p及图中a的值；

(2)若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；

(3)估计这M名学生参加社区服务次数的众数、中位数以及平均数．解：(1)由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，

所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，则p＝＝＝0.10.

因为a是分组[15,20)的频率与组距的比值，所以a＝＝0.12.

(2)因为该校高三年级学生有240人，样本在[10,15)内的频率是0.25，

所以估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数约为60人．

(3)估计这M名学生参加社区服务次数的众数是＝17.5.

因为n＝＝0.60，所以样本中位数是15＋≈17.1，

故估计这M名学生参加社区服务次数的中位数是17.1，

平均数是12.5×0.25＋17.5×0.60＋22.5×0.10＋27.5×0.05＝17.25.

[梯度拔高练]

1．某地区某村前三年的经济收入分别为100,200,300万元，其统计数据的中位数为x，平均数为y.经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这四年里收入的统计数据中，下列说法正确的是(　　)

A．中位数为x，平均数为1.5y

B．中位数为1.25x，平均数为y

C．中位数为1.25x，平均数为1.5y

D．中位数为1.5x，平均数为2y

解析：选C　依题意，前三年经济收入的中位数x＝200，平均数y＝＝200，第四年收入为600万元，故这四年经济收入的中位数为＝250＝1.25x，平均数为＝300＝1.5y.故选C.

2．(多选)空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数越小，表明空气质量越好，如表是空气质量指数与空气质量的对应关系，如图是经整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图，下列叙述正确的是(　　)

A．该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032

B．该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量

C．该市2020年2月份空气质量指数的中位数大于2019年2月份空气质量指数的中位数

D．该市2020年2月份空气质量指数的方差小于2019年2月份空气质量指数的方差

解析：选BD　A选项，由图中数据可得，该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为(0.013＋0.019)×25＝0.8，故A错误；B选项，由图中数据可得，该市2020年2月份空气质量为优的天数明显多于2019年2月份的空气质量为优的天数，且2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为(0.013＋0.019)×25＝0.8,2019年2月份的空气质量为优的天数的频率仅为(0.001＋0.012)×25＝0.325，所以该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量，故B正确；C选项，因为2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为(0.013＋0.019)×25＝0.8，所以2020年2月份空气质量的中位数必然小于50，而2019年2月份的空气质量为优的天数的频率为(0.001＋0.012)×25＝0.325，故2019年2月份空气质量的中位数必然大于50，故C错误；D选项，由题中图象可得，2020年2月份的空气质量指数主要集中在[0,75)，而2019年2月份空气质量指数较分散，故该市2020年2月份空气质量指数的方差小于2019年2月份空气质量指数的方差，故D正确．故选B、D.

3．(2021·大连双基测试)在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，

甲地：总体平均数为3，中位数为4；

乙地：总体平均数为1，总体方差大于0；

丙地：总体平均数为2，总体方差为3；

丁地：中位数为2，众数为3.

则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是(　　)

A．甲地  B．乙地

C．丙地  D．丁地

解析：选C　对于甲地，总体平均数为3，中位数为4.平均数与中位数，不能限制极端值的出现，因而可能会出现超过7人的情况，所以甲地不符合要求．对于乙地，总体平均数为1，总体方差大于0.没有给出方差具体的大小，如果方差很大，有可能出现超过7人的情况，所以乙地不符合要求．对于丁地，中位数为2，众数为3.中位数与众数不能限制极端值的大小，因而可能出现超过7人的情况，所以丁地不符合要求．对于丙地，根据方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]．若出现大于7的数值m，令x1＝m，则s2＝[(m－2)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]＞3.6，与总体方差为3矛盾，因而不会出现超过7人的情况．综上可知，丙地符合要求．故选C.

4．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

图①

B地区用户满意度评分的频数分布表

(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．

B地区用户满意度评分的频率分布直方图

图②

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高，分为三个等级，估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大，请说明理由.

解：(1)作出频率分布直方图如图所示．

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．

(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．

记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；

CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．

由直方图得P(CA)的估计值为

(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，

P(CB)的估计值为

(0.005＋0.02)×10＝0.25.

所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．