2020-2021学年第十五章 平面直角坐标系综合与测试随堂练习题

七年级数学第二学期第十五章平面直角坐标系难点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知点A（x，5）在第二象限，则点B（﹣x，﹣5）在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2、已知点P（m＋3，2m＋4）在x轴上，那么点P的坐标为（　　）

A．（－1，0） B．（1，0） C．（－2，0） D．（2，0）

3、在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（    ）．

A． B． C． D．

4、在平面直角坐标系xOy中，若在第三象限，则关于x轴对称的图形所在的位置是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5、在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）在（　 　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6、点在第四象限，则点在第几象限（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7、上海是世界知名金融中心，以下能准确表示上海市地理位置的是(   )

A．在中国的东南方 B．东经，北纬 C．在中国的长江出海口 D．东经．

8、点M(2，4)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　）

A．(－1，6) B．(－1，2) C．(－1，1) D．(4，1)

9、已知A（2，5），若B是x轴上的一动点，则A、B两点间的距离的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．3.5 D．5

10、点A（-3，1）到y轴的距离是（　　）个单位长度．

A．-3 B．1 C．-1 D．3

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知点P（3，1）关于y轴的对称点Q的坐标为 _____．

2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为___________．

3、在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2021次变换后所得的点的坐标是___________．

4、在平面直角坐标系中，轰炸机机群的一个飞行队形如图所示，若其中两架轰炸机的坐标分别表示为A（1，3）、B（3，1），则轰炸机C的坐标是_________．

5、在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）到x轴的距离为 ___．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(2，4)．

（1）画出ABC关于原点O对称的，直接写出点的坐标；

（2）画出ABC绕点O逆时针旋转90°后的，并写出点的坐标．

2、如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP=a，那么我们规定用(a，β)表示点P在平面内的位置，并记为P(a，β)．例如，图2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么点M在平面内的位置，记为M(8，110)，根据图形，解答下面的问题：

（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N(6，30)，那么ON=________；∠XON=________．

（2）如果点A，B在平面内的位置分别记为A(5，30)，B(12，120)，画出图形并求出AOB的面积．

3、已知A（-1，3），B（4，2），C（2，-1）．

（1）在平面直角坐标系中，画出△ABC及△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；

（2）P为x轴上一点，请在图中标出使△PAB的周长最小时的点P，并根据图象直接写出此时点P的坐标           ．

4、如图，的顶点坐标分别为画出绕点顺时针旋转，得到并直接写出的面积．

5、在平面直角坐标系xoy中，A，B，C如图所示：请用无刻度直尺作图（仅保留作图痕迹，无需证明）．

（1）如图1，在BC上找一点P，使∠BAP＝45°；

（2）如图2，作△ABC的高BH．

6、如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．

（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；

（2）请画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A2BC2；

（3）求出（2）中△A2BC2的面积．

7、如图，在直角坐标系中，A(－1，5)，B(－3，0)，C(－4，3)．

(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；

(2)写出点A1　　　　　，B1　　　　　，C1　　　　　的坐标．

8、如图，在平面直角坐标系中、ABC的顶点坐标分别为A(4，6)，B(5，2)，C(2，1)

（1）在图中画出ABC关于点O的中心对称图形，并写出点，点，点的坐标；

（2）求的面积．

9、在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝m表示经过点(m，0)，且平行于y轴的直线．给出如下定义：将点P关于x轴的对称点，称为点P的一次反射点；将点关于直线l的对称点，称为点P关于直线l的二次反射点．例如，如图，点M(3，2)的一次反射点为(3，－2)，点M关于直线l：x＝1的二次反射点为(－1，－2)．

已知点A(－1，－1)，B(－3，1)，C(3，3)，D(1，－1)．

（1）点A的一次反射点为            ，点A关于直线：x＝2的二次反射点为            ；

（2）点B是点A关于直线：x＝a的二次反射点，则a的值为            ；

（3）设点A，B，C关于直线：x＝t的二次反射点分别为，，，若△与△BCD无公共点，求t的取值范围．

10、如图，在平面直角坐标系中，A（1，4）、B（2，1）、C（﹣3，2）．

（1）作△ABC关于x轴对称图形△A'B'C'；

（2）求△CAA'的面积．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

由题意直接根据各象限内点坐标特征进行分析即可得出答案．

【详解】

∵点A（x，5）在第二象限，

∴x＜0，

∴﹣x＞0，

∴点B（﹣x，﹣5）在四象限．

故选：D．

【点睛】

本题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

2、B

【分析】

根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可．

【详解】

解：∵点P（m＋3，2m＋4）在x轴上，

∴2m＋4＝0，

解得：m＝－2，

∴m＋3＝－2＋3＝1，

∴点P的坐标为（1，0）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．

3、A

【分析】

根据轴上的点的坐标特点纵坐标为0，即求得的值，进而求得点的坐标

【详解】

解：∵点在轴上，

∴

解得

故选A

【点睛】

本题考查了轴上的点的坐标特征，理解“轴上的点的坐标特点是纵坐标为0”是解题的关键．平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点：①x轴正半轴上的点：横坐标>0，纵坐标=0；②x轴负半轴上的点：横坐标<0，纵坐标=0；③y轴正半轴上的点：横坐标=0，纵坐标>0；

④y轴负半轴上的点：横坐标=0，纵坐标<0；⑤坐标原点：横坐标=0，纵坐标=0．

4、B

【分析】

设内任一点A（a，b）在第三象限内，可得a＜0，b＜0，关于x轴对称后的点B(-a，b)，则﹣a＞0，b＜0，然后判定象限即可．

【详解】

解：∵设内任一点A（a，b）在第三象限内，

∴a＜0，b＜0，

∵点A关于x轴对称后的点B(a，-b)，

∴﹣b＞0，

∴点B（a，-b）所在的象限是第二象限，即在第二象限．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．

5、C

【分析】

根据第三象限内点的坐标横纵坐标都为负的直接可以判断

【详解】

解：在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）在第三象限

故选C

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中各象限内的点的坐标特征，理解各象限内点的坐标特征是解题的关键．平面直角坐标系中各象限点的坐标特点：①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0．

6、C

【分析】

根据点A（x，y）在第四象限，判断x，y的范围，即可求出B点所在象限．

【详解】

∵点A（x，y）在第四象限，

∴x＞0，y＜0，

∴﹣x＜0，y﹣2＜0，

故点B（﹣x，y﹣2）在第三象限．

故选：C．

【点睛】

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

7、B

【分析】

根据有序数对的性质解答．

【详解】

解：能准确表示上海市地理位置的是东经，北纬，

故选：B．

【点睛】

此题考查了表示平面上点的位置的方法：有序数对，需用两个有序数量来表示某一位置，掌握有序数对的性质是解题的关键．

8、A

【分析】

直接利用平移中点的变化规律求解即可，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

【详解】

∵，，

∴得到的点的坐标是．

故选：A．

【点睛】

本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．

9、D

【分析】

当AB⊥x轴时，AB距离最小，最小值即为点A纵坐标的绝对值，据此可得．

【详解】

解：∵A(﹣2，5)，且点B是x轴上的一点，

∵当AB⊥x轴时，AB距离最小，即B点（-2，0）

∴A、B两点间的距离的最小值5．

故选：D．

【点睛】

本题考查了直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

10、D

【分析】

由点到轴的距离等于该点坐标横坐标的绝对值，可以得出结果．

【详解】

解：由题意知到轴的距离为

到轴的距离是个单位长度

故选D．

【点睛】

本题考察了点到坐标轴的距离．解题的关键在于明确距离的求解方法．距离为正值是易错点．解题技巧：点到轴的距离=；到轴的距离=．

二、填空题

1、（﹣3，1）

【分析】

点关于y轴的对称点坐标，横坐标为相反数，纵坐标不变；可以得到对称点Q的坐标．

【详解】

解：点P（3，1）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣3，1）．

故答案为：（﹣3，1）．

【点睛】

本题考察坐标系中点的对称．解题的关键在于明确点在对称时坐标的变化形式．

2、5

【分析】

首先在坐标系中标出A、B两点坐标，由于B点在x轴上，所以面积较为容易计算，根据三角形面积的计算公式，即可求出△AOB的面积．

【详解】

解：如图所示，

过A点作AD垂直x轴于D点，则h=2，

∴．

故答案为：5．

【点睛】

本题主要考查的是坐标系中三角形面积的求法，需要准确对点位进行标注，并根据公式进行求解即可．

3、

【分析】

由题意根据点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到初始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环进行分析即可得出答案．

【详解】

解：根据题意可知：点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到初始位置，

所以，每四次对称为一个循环组依次循环，

∵2021÷4=505…1，

∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次关于x轴对称变换的位置相同，在第四象限，坐标为.

故答案为：．

【点睛】

本题考查轴对称的性质以及点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键．

4、

【分析】

直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．

【详解】

解：如图所示，建立平面直角坐标系，

∴轰炸机C的坐标为（-1，-2），

故答案为：（-1，-2）．

【点睛】

此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置建立坐标系是解题关键．．

5、3

【分析】

根据点的纵坐标的绝对值是点到轴的距离，可得答案．

【详解】

在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）到轴的距离为3．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了点的坐标，点的纵坐标的绝对值是点到轴的距离，横坐标的绝对值是点到轴的距离．

三、解答题

1、（1）作图见解析，（-1，﹣1）；（2）作图见解析，（-1， 1），（-2， 3），（-4， 2）；

【分析】

（1）根据A（1，1），B（3，2），C（2，4）．即可画出△ABC关于原点O对称的的△A1B1C1，进而可以写出点A1的坐标；

（2）根据旋转的性质即可画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；进而可以写出点的坐标即可．

【详解】

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，

所以点A1的坐标为：（-1，﹣1）；

（2）△A2B2C2即为所求；

点的坐标分别为：（-1， 1），（-2， 3），（-4， 2）；

【点睛】

本题考查了作图﹣旋转变换和中心对称变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

2、（1）6，30°；（2）见解析，30

【分析】

（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；

（2）根据相应的度数判断出△AOB的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．

【详解】

(1)根据点N在平面内的位置N(6，30)可知，ON=6，∠XON=30°.

答案：6，30°

(2)如图所示：

∵A(5，30)，B(12，120)，

∴∠BOX=120°，∠AOX=30°，

∴∠AOB=90°，

∵OA=5，OB=12，

∴△AOB的面积为OA·OB=30.

【点睛】

本题考查了坐标确定位置及旋转的性质，解决本题的关键是理解所给的新坐标的含义．

3、（1）见解析；（2）见解析，

【分析】

（1）根据关于y轴对称点的坐标特点得到△A1B1C1各顶点的坐标，然后描出各点，然后顺次连接即可；

（2）作点A关于x轴的对称点A1，连接A1B交x轴与点P．

【详解】

解：（1）如图△ABC及△A1B1C1即为所求作的图形；

（2）如图点P即为所求作的点，此时点P的坐标（2，0） ．

【点睛】

本题主要考查的是轴对称变换，掌握关于轴对称点的坐标特点是解题的关键．

4、图见解析，面积为2

【分析】

先求出旋转后A1（5,2），B1（2,3），C1（4,1），然后描点，连线，利用矩形面积减三个三角形面积即可．

【详解】

解：∵的顶点坐标分别为，绕点顺时针旋转，得到，

∴点A1横坐标-1+[5-（-1）]=5，纵坐标-1+[-1-（-4）]=2，A1（5,2），

∴点B1横坐标-1+[2-（-1）]=2，纵坐标-1+[-1-（-5）]=3，B1（2,3），

∴点C1横坐标-1+[4-（-1）]=4，纵坐标-1+[-1-（-3）]=1，C1（4,1），

在平面直角坐标系中描点A1（5,2），B1（2,3），C1（4,1），

顺次连结A1B1， B1C1，C1A1，

则△A1B1C1为所求；

，

=，

=，

=2．

【点睛】

本题考查三角形旋转画图，割补法求三角形面积，掌握求旋转坐标的方法，描点法画图，割补法求面积是解题关键．

5、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）过点B作MQ∥x轴，过点A作AM⊥MQ于点M，过点N作NQ⊥MQ于点Q，连接BN，连接AN交BC于点P，则∠BAP=45°，先证得△ABM≌△BNQ，可得AB=BN，∠ABM=∠BNQ，从而得到∠ABN=90°，即可求解；

（2）在x轴负半轴取点Q，使OQ=2，连接BQ交AC于点H，则BH即为△ABC的高．过点B作BG⊥x轴于点G，过点A作AD⊥x轴于点D，则AD=GQ=1，CD=BG=6，∠ADC=∠BGQ=90°，先证得△ACD≌△QBG，从而得到∠ACD=∠QBG，进而得到∠CHQ=90°，即可求解．

【详解】

解：（1）如图，过点B作MQ∥x轴，过点A作AM⊥MQ于点M，过点N作NQ⊥MQ于点Q，连接BN，连接AN交BC于点P，则∠BAP=45°，如图所示，点P即为所求，

理由如下：

根据题意得：AM=BQ=5，BM=QN=3，∠AMB=∠BQN=90°，

∴△ABM≌△BNQ，

∴AB=BN，∠ABM=∠BNQ，

∴∠BAP=∠BNP，

∵∠NBQ+∠BNQ=90°，

∴∠ABM +∠BNQ=90°，

∴∠ABN=90°，

∴∠BAP=∠BNP=45°；

（2）如图，在x轴负半轴取点Q，使OQ=2，连接BQ交AC于点H，则BH即为△ABC的高．

理由如下：

过点B作BG⊥x轴于点G，过点A作AD⊥x轴于点D，则AD=GQ=1，CD=BG=6，∠ADC=∠BGQ=90°，

∴△ACD≌△QBG，

∴∠ACD=∠QBG，

∵∠QBG+∠BQG=90°，

∴∠ACD +∠BQG=90°，

∴∠CHQ=90°，

∴BH⊥AC，即BH为△ABC的高．

【点睛】

本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．

6、（1）见解析，（﹣2，4）；（2）见解析；（3）3.5

【分析】

（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2和C2即可；

（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A2BC2的面积．

【详解】

解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣2，4）；

（2）如图，△A2BC2为所作；

（3）△A2BC2的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×1﹣×3×2＝3.5．

【点睛】

本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．

7、（1）见解析；（2）（1，5），（3，0），（4，3）

【分析】

（1）根据对称性即可在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；

（2）结合（1）即可写出点A1，B1，C1的坐标．

【详解】

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）；

故答案为：（1，5），（3，0），（4，3）．

【点睛】

本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同．

8、（1）点的坐标为（-4，-6），点的坐标为（-5，-2），点的坐标为（-2，-1），画图见解析；（2）

【分析】

（1）先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点，点，点的坐标，然后描出点，点，点，最后顺次连接点，点，点即可；

（2）根据的面积等于其所在的长方形面积减去周围三个三个小三角形面积求解即可．

【详解】

解：（1）∵是△ABC关于原点对称的中心对称图形， A(4，6)，B(5，2)，C(2，1)，

∴点的坐标为（-4，-6），点的坐标为（-5，-2），点的坐标为（-2，-1）；

∴如图所示，即为所求；

（2）由图可知 ．

【点睛】

本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．

9、（1）(－1，1)；(5，1)；（2）-2；（3）＜－2或＞1．

【分析】

（1）根据一次反射点和二次反射点的定义求解即可；

（2）根据二次反射点的意义求解即可；

（3）根据题意得，，，分＜0和＞0时△与△BCD无公共点，求出t的取值范围即可．

【详解】

解：（1）根据一次反射点的定义可知，A（-1，-1）一次反射点为（-1，1），

点A关于直线：x＝2的二次反射点为（5，1）

故答案为： (－1，1)；(5，1)． 

（2）∵A(－1，－1)，B(－3，1)，且点B是点A关于直线：x＝a的二次反射点，

∴

解得，

故答案为： －2．

（3）由题意得，(－1，1)，(－3，－1)，(3，－3)，点D(1，－1)在线段上．

当＜0时，只需关于直线＝的对称点在点B左侧即可，如图1．

∵当与点B重合时，＝－2，

∴当＜－2时，△与△BCD无公共点．

当＞0时，只需点D关于直线x＝的二次反射点在点D右侧即可，如图2，

∵当与点D重合时，＝1，

∴当＞1时，△与△BCD无公共点．

综上，若△与△BCD无公共点，的取值范围是＜－2，或＞1．

【点睛】

本题考查了轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．

10、（1）见解析；（2）16

【分析】

（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；

（2）直接根据三角形的面积公式求解即可．

【详解】

解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．

（2）△CAA'的面积为×8×4＝16．

【点睛】

本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．