华东师大版数学七年级上册 5.1 相交线_ 教案

相交线

第1课时

一、教材分析

    垂线是平面几何所要研究的基本内容之一．垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习空间里的垂直关系、三角形的高、切线的性质和判定以及平面直角坐标系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用．垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一．

    实验教材将本节内容分两课时，与以前的教材相比，虽然缩短了1课时，但更注重对学生实际操作能力的培养，更注重渗透变换的思想．“做一做”这种探究性活动，为培养学生的参与意识和创新意识提供了机会．垂线的画法是学生学习本节内容的一个难点．结合学生所学的知识及生活实际，有效地引导学生认知和感受知识的发生发展过程．精心设计投影片和变式训练，并恰到好处的利用运动变化，体现画垂线的思维过程，在掌握垂线概念的基础上，使学生顺利自然地突破画垂线的难点．

二、学情分析

    我校属农村城镇中学，学生全部享受九年义务教育，实行微机分班，未进行筛选．在层次上参差不齐，基础和发展均不平衡，且教学硬件只能使用投影仪，无条件进行多媒体教学．经过一学期的实践，学生基本上适应了以学习小组方式参与探究活动的学习方法，不同程度地享受到了数学知识来源于实践操作的成功体验，从而愿意在教师的指导下主动与同学探索、发现、归纳数学知识．

三、设计理念

    针对教材内容和学生实际，组织学生实践、感悟出两直线互相垂直的概念，引导学生分析、解决问题，使学生在自己动手的基础上，发现垂线的性质，又借助于教具、实物、图形、幻灯等，从直观的感性认识中发现抽象的概念，使他们成为探求知识的主体，同时还利用问题探究式的方法让学生对新课加以巩固理解．在探究垂线的性质时，采取小组学习形式，可弥补教者在大班额教学中对弱势学生关注的不足．初步探索在农村中学中如何进行研究性学习．

四、教学目标

    1．了解两条直线互相垂直的概念．

    2．知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．

    3．培养学生的观察、理解能力，几何语言能力，画图能力，抽象思维能力以及运用知识解决实际问题能力．

   4．培养学生辩证唯物主义思想及勇于探索的精神．

   5．通过创设情境，利用变式训练和多种教学手段来激发学生的学习兴趣，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会，给学生营造可持续发展的机会．

五、教学重点

    两直线互相垂直的有关性质．

六、教学难点

    过直线上（外）一点作已知直线的垂线．

七、教学用具

    多媒体、投影仪、自制的可旋转的两根木条等．

八、教学过程

    〔一）背景

    1．（生活背景）红十字会标志．

    2．（知识背景）两条直线相交，产生两对对顶角，且对顶角相等．

    （二）师生互究

    1．创设问题情境：

师：这是两幅草坪的图案．在绿色的草坪上，画着两条交叉的道路．你觉得图（甲）和图（乙）哪幅更漂亮、更匀称．这是什么原因？（教师用多媒体或投影仪展示）

    （学生众说纷纭，教师应给予充分的肯定）

    师：图（甲）是两条直线相交的一种特殊情况，它在生活、生产实际中应用比较广．请你再举一些类似的例子．

    生：……

    师：让我们共同探索图（甲）这种特殊情况．

    （借助于教具、模型、实物、图形及幻灯等教学手段，使学生先得到直观的感性认识，培养学生从感性到理性的认识方式）

    2．回顾再现：对顶角相等．

两条直线相交只有一个交点．如图1，直线AB和CD相交，交点为点O，有四个小于平角的角，且．

图1

    3．提高：

教师演示自制教具，要求学生观察当一根木条绕着另一根木条旋转时的变化情况，并用数学语言进行描述．

    （教师应鼓励学生大胆描述自己的观察结果，并及时予以肯定）

师：两直线相交，有两组分别相等的角，当一个角等于90°时，其他三个角有什么变化？可能产生四个相等的角吗？如图2（同时演示教具）将直线CD绕着点O旋转，当时，是多少度？

图2

    生：……

    师：你们的依据是什么？

    生：……（用度量的方法；利用对顶角相等；互补的概念……学

生回答过程中，只要有道理就应予以鼓励）（这里希望在感性认识的基础上进行抽象概念的教学，培养学生的抽象思维能力）

    4．提升：

    （教师引导学生归纳）两条直线互相垂直：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，称这两条直线互相垂直．

    师：①如图2，直线AB和CD相交，交点为O，，记为，垂足为点O．“”读作“AB垂直于CD”或“CD垂直于AB”．

    ②若直线，垂足为点O，则．

    （实现数学的三大语言：文字语言，符号语言，几何语言之间的切换，并板书以突出其重要性）

    5．再探究：

    师：请同学们举一些日常生活中垂直的例子．

    生：……

    （希望实现将数学知识运用于实际生活，并为后继数学知识增加感性认知）

    师：请同学们用三角尺或量角器作为工具．

①在图3中，经过直线AB外一点P，画直线与已知直线AB垂直，且讨论这样的垂线有几条．

②在图4中，点P在直线AB上，重复上述过程．

    （学生分组或独立探索，教师巡视指导）

    教师引导学生归纳结论：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．

（通过学生动手操作画图，教师在巡视中及时指出、纠正学生发生的错误，训练学生以严谨的科学态度研究问题、解决问题）

    师：请同学们互相交流画图过程和“有且只有”的含义．

    （学生讨论交流，教师巡视）

    师：引导归纳得出：

    ①靠已知直线——找待过定点——画已知直线的垂线（一靠、二过、三垂直）．

    ②有一条并且只有一条，没有第二条．

师：如图5，请同学们相互比试，谁能更快地过直线CD上一点P作直线AB的垂线，并在小组间进行交流．

图5

    （探究性活动是《数学课程标准》的一个重要举措，它为培养学生的创新意识提供了机会．“做一做”进行小组交流，一方面是为了加强对学生动手操作能力的培养，同时也培养了学生的合作意识和竞争意识，使学生更深入理解垂直、垂线的概念）

6．学生探索：（学生分小组测量、讨论、归纳）如图6所示，点A与直线CD上各点的距离长短一样吗？谁最短？它具备什么条件？（请小组代表发言）

图6

    7．教师：（总结归纳）线段AB最短，．

    （教师引导学生得出线段AB特征：A为直线外一点，B为过A向直线DC所引的垂线的垂足）

    提高为：线段AB的长度就是点A到直线DC的距离．

    思考：点A到直线DC的距离与点A到点C的距离有什么区别？

    点A到直线DC的距离：线段AB的长度，A为直线外一点，B为过A向直线DC所引的垂线的垂足．

    点A到点C的距离：两点之间线段的长度．

（从生活实际和学生感兴趣的问题引导学生发现垂线的第二个性质，提高学生学数学的兴趣，并适当体现学数学——用数学——发现数学的思想）

    （三）较量

    1．第162页第1、2、3题．

    2．应用：（使学生在相互竞争中，实践应用本节课的知识，分享获取成功的喜悦，并促进学生积极向上的心理品质）

①某村庄在如图7所示的小河边，为解决村庄供水问题，需把河中的水引到村庄A处，在河岸CD的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图来，并说明道理．

图7

②教材 “做一做”．

③体育课上怎样测量跳远成绩？（如图8）

图8

（学以致用，学生做个小小设计师，兴趣盎然，把这节课引入高潮）

（四）分享

1．两条直线互相垂直的概念．

2．如何过已知直线上或已知直线外的一点作惟一的垂线．

（五）探索

1．第1题．

图9

2．学校的位置如图9所示，请在图上设计出学校到两条公路的最短路线，并说明理由．