2022年高考三轮复习之回归基础练第27练　直线与圆锥曲线的位置关系

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第27练　直线与圆锥曲线的位置关系
[考情分析]　直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦等问题在高考选择题、填空题、解答题中均有考查，以解答题为主．

考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
要点重组　
解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题，其常规思路是把直线方程和圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线与圆锥曲线的相交、相切或相离问题．
1．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由
得(1－k2)x2－4kx－10＝0.
设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
解得－ 所以k的取值范围是.
2．(多选)(2020·成都模拟)已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1只有一个公共点，则k的值为(　　)
A．－ B．0 C. D.
答案　BC
解析　当k＝0时，l：y＝1与y2＝x只有一个交点；
当k≠0时，联立得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，
Δ＝(2k－1)2－4k2＝0，
解得k＝，
综上有k＝0或k＝，故选BC.
3．(2020·河北衡水中学调研)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为所求椭圆与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，
所以可设所求椭圆的方程为＋＝1(a>1)，
联立得方程组⇒(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，
化简得a4－6a2＋5＝0，
即a2＝5或a2＝1(舍)．
则a＝，又c＝1，
所以e＝＝＝，
故选B.
4．(2020·宜昌模拟)设a，b是关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　A
解析　关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根为0，－tan θ(tan θ≠0)，则过A，B两点的直线方程为y＝－xtan θ，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±xtan θ，
所以直线y＝－xtan θ与双曲线没有公共点，故选A.


考点二　弦长问题
要点重组　
涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系与弦长公式|AB|＝，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算，当A，B两点坐标易求时也可以直接用＝求解．
5．(2020·厦门模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与曲线C交于A，B两点，|AB|＝6，则AB中点到y轴的距离是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　由y2＝4x，得F(1,0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AF|等于点A到准线x＝－1的距离x1＋1；
同理，|BF|等于点B到准线x＝－1的距离x2＋1，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝6，
得x1＋x2＝4，
中点横坐标为x0＝＝2，
所以AB中点到y轴的距离是|x0|＝2，故选B.
6．(2020·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(b>0)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|等于(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
答案　C
解析　如图所示，

由双曲线定义知
|AF2|－|AF1|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a，
由于|AF1|＝|BF1|，
所以两式相加可得
|AF2|－|BF2|＝4a，
而|AB|＝|AF2|－|BF2|，
所以|AB|＝4a，
由双曲线方程知a＝4，
所以|AB|＝16，故选C.
7．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝4 B.＝
C．|BD|＝2|BF| D．|AB|＝12
答案　ABC
解析　如图，

过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′，
∵kl＝，∴∠AFx＝60°，
∴∠FAA′＝60°，
△AA′F为等边三角形．
∴|AA′|＝|AF|＝8，
∠A′DA＝30°，
∴|AA′|＝|AD|，
∴|AD|＝16，
∴F为AD的中点，
∴|FF′|＝|A′A|＝4，
∴p＝4，∴A，B正确．
令|BB′|＝|BF|＝t，
∵∠A′DA＝30°，∴|BD|＝2|BB′|＝2|BF|＝2t，
∴|DF|＝|BD|＋|BF|＝3t＝8，
∴t＝，∴|BF|＝，∴|AB|＝8＋＝，
故C正确，D不正确．
8．(2020·济南模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点P是椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值是4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四点，AC与BD相交于点F1，·＝0，且||＋||
＝，求此时直线AC的方程．
解　(1)由题意知，当点P是椭圆的上(或下)顶点时，△PF1F2的面积取得最大值．
此时，＝·2c·b＝4，
又e＝＝，a2＝b2＋c2，
解得a＝4，b＝2，故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，由·＝0，得AC⊥BD.
①当直线AC与BD中有一条直线的斜率不存在时，
||＋||＝14，不符合题意．
②当直线AC的斜率存在且为k(k不为0)时，
其方程为y＝k(x＋2)．
由消去y得
(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以||＝|x1－x2|＝.
直线BD的方程为y＝－(x＋2)，
同理可得||＝.
由||＋||＝＝，
解得k2＝1，则k＝±1.
故所求直线AC的方程为x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.

考点三　与弦中点有关的问题
要点重组　
对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，
由点差法可知k＝－，代入k＝1，M(－4，1)，
解得＝，e＝＝，
故选C.
10．(2020·安徽合肥九中模拟)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，则a2＋b2＝9.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式作差，整理得＝·＝＝.
又直线AB的斜率为＝1，
所以4b2＝5a2，与a2＋b2＝9，
联立解得a2＝4，b2＝5，
所以E的方程为－＝1.

11．(2020·长沙模拟)已知斜率为2的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点．若线段AB的中点M的横坐标为3，则p等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　抛物线y2＝2px的焦点F，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
线段AB的中点M的坐标为(3，y)，
则y＝2px1，y＝2px2，
两式相减可得y－y＝2p(x1－x2)．
又M为AB的中点，可得2y＝y1＋y2.
kAB＝＝＝＝＝2，
∴p＝2y，又由kAB＝kFM可得＝2，
∴y＝6－p，∴p＝12－2p，解得p＝4.
12．已知抛物线y2＝4x上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离是________．
答案　2
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，抛物线的准线方程为x＝－1，

根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：
d＝＝－1
＝－1≥－1＝2(由抛物线定义，两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号)．

1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(1，)∪(，＋∞)
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
答案　C
解析　直线y＝2x必过原点，要使直线与双曲线有交点，设双曲线渐近线的斜率为k，则|k|>2，
即>2，则有>4.
所以e2＝>5，又e>1，所以e>.
2．椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，
则＝－1，即＝－1，
由题意知，＝－1，
过点与原点的直线的斜率为，
即＝，
∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故选B.
方法二　由消去y，
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
可得AB中点P的坐标为，
∴kOP＝＝，∴＝.
3．(2020·江西五校联考)平行四边形ABCD内接于椭圆＋＝1，直线AB的斜率k1＝2，则直线AD的斜率k2等于(　　)
A. B．－ C．－ D．－2
答案　C
解析　设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GO∥AD.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得
＝－，
整理得＝－＝－k1＝－2，
即＝－.又G，
所以kOG＝＝－，即k2＝－，故选C.
4．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)
A．抛物线C的准线方程为y＝－1
B．线段PQ的长度最小为4
C．点M的坐标可能为(3,2)
D.·＝－3恒成立
答案　BCD
解析　因为焦点F到准线的距离为2，所以抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，A项错误；当线段PQ垂直于x轴时长度最小，此时|PQ|＝4，B项正确；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1.联立得方程组消去x并整理，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，则y1＋y2＝4m，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，所以M(2m2＋1,2m)．当m＝1时，可得M(3,2)，C项正确；
可得y1y2＝－4，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，
所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，D项正确．故选BCD.
5．已知抛物线C: y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为________．
答案　±
解析　由题意知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y＝k，点A，B，
线段AB的中点为M.
由得k2x2－x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝.
又因为弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，
所以＋＝＋1＝5，
所以x1＋x2＝＝8，解得k2＝，
所以k＝±.
6．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求直线l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为
y＝k(x－1)(k>0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，
故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此直线l的方程为x－y－1＝0.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，
即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.