初中数学苏科版七年级下册第8章 幂的运算综合与测试导学案

幂的运算（基础）

【学习目标】

1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；

2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.

【要点梳理】

【高清课堂396573  幂的运算 知识要点】

要点一、同底数幂的乘法性质

(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即（都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.

要点二、幂的乘方法则

    (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.

要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)

（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.

要点三、积的乘方法则

  (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).

         （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：

要点四、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.

（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.

（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.

【典型例题】

类型一、同底数幂的乘法性质 

1、计算：

（1）；（2）；

（3）．

【答案与解析】

解：（1）原式．

（2）原式．

（3）原式．

【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中的指数是1．在第（3）小题中把看成一个整体．

举一反三：

【变式】计算：

（1）；

（2）（为正整数）；

（3）（为正整数）．

【答案】

解：（1）原式．

（2）原式．

（3）原式．

2、已知，求的值．

【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：

【答案与解析】

解：由得．

∴  ．

【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：．

类型二、幂的乘方法则

3、计算：

（1）；（2）；（3）．

【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是．

【答案与解析】

解：（1）．

（2）．

（3）．

【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.

4、（2014春•宝应县月考）已知2m=5，2n=7，求 24m+2n的值．

【答案与解析】

解：∵2m=5，2n=7，

又∵24m=625，

∴22n=49，

∴24m+2n=625×49=30625.

【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键．

举一反三：

【变式1】已知，．求的值．

【答案】

解：．

【高清课堂396573  幂的运算 例3】

【变式2】已知，，求的值．

【答案】

解：因为,  .

所以.

类型三、积的乘方法则

5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：

（1）；    （2）；   （3）．

【答案与解析】

解：（1）错，这是积的乘方，应为：．

（2）对．

（3）错，系数应为9，应为：．

【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．

（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．

举一反三：

【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555．

【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．

【巩固练习】

一.选择题

1.（2015•杭州模拟）计算的x3×x2结果是（　　）

　 A．x6 B．6x C． x5 D． 5x

2．的值是(    )．

A.  B.  C.  D.

3．下列计算正确的是(    )．

A.                  B.       

C.                   D.

4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是(    ).

A. 100×＝                 B. 1000×＝       

C. 100×＝                  D. 100×1000＝  

5．下列计算正确的是(    )．

A. B.

C.  D.

6．若成立，则(    )．

A. ＝6，＝12 B. ＝3，＝12

C. ＝3，＝5  D. ＝6，＝5

二.填空题

7.（2015春•西安校级月考）已知5x=6，5y=3，则5x+2y=　           　．

8. 若，则＝_______．

9. 已知，那么______．

10．若，则＝______；若，则＝______．

11. ______；  ______； ＝______．

12.若n 是正整数，且，则＝__________.

三.解答题

13.（2015春•莱芜校级期中）计算：（﹣x）3•x2n﹣1+x2n•（﹣x）2．

14.（1） ；             （2）；

（3）；   （4）；

（5）；   

15.（1）若，求的值．

（2）若，求、的值．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】C；

   【解析】解：原式=x3+2=x5，故选C．

2. 【答案】C；

   【解析】.

3. 【答案】D；

   【解析】；；.

4. 【答案】C；

【解析】100×＝；1000×＝；100×1000＝.

5. 【答案】D；

   【解析】；；.

6. 【答案】C；

   【解析】，解得＝3，＝5.

二.填空题

7. 【答案】54；

   【解析】解：5x+2y=5x5y5y=6×3×3=54．

8. 【答案】6；

   【解析】.

9. 【答案】25；

【解析】.

10.【答案】5；1；

   【解析】；.

11.【答案】64；；；

12.【答案】200；

   【解析】.

三.解答题

13.【解析】

解：（﹣x）3•x2n﹣1+x2n•（﹣x）2

=﹣x2n+2+x2n+2

=0．

14.【解析】

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）.

15.【解析】

解：（1）∵
　　　　∴
　　　　∴4＋3＝35
　　　　∴＝8
　　（2）＝4，＝3
　　解：∵
　　　　∴
　　　　∴3＝9且3＋3＝15
　　　　∴＝3且＝4