上海市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 上海实验学校高一期中数学试卷

一．填空题

1.______

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用反三角函数的定义求值即可．

【详解】解：，，

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查反三角函数的求值问题，要注意反三角函数的值域，属于基础题．

2.已知一扇形的圆心角为1弧度，半径为1，则该扇形的面积为________.

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用扇形面积公式计算得到答案.

【详解】根据扇形的面积公式可得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了扇形的面积，属于简单题.

3.已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．

【答案】.

【解析】

分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.

详解：由题意可得，所以，因为，所以

点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；

(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.

4.已知，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

直接根据正切函数的二倍角公式求解即可.

【详解】解: 已知,

所以

故答案为:

【点睛】本题考查正切函数的二倍角公式,熟练掌握公式是解题的关键.

5.在中的内角、、所对的边、、，，，，则__________．

【答案】 1

【解析】

【分析】

根据正弦定理可得，结合余弦定理即可求解.

【详解】，由正、余弦定理得 .

故答案为.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，解答本题的关键是将角化边.

6.记为等差数列的前项和，若，则数列的公差为______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出.

【详解】解：设等差数列的公差为，
∵，

∴，
则数列的公差.
故答案为：−1.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

7.若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.

【答案】；

【解析】

【详解】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1．

考点:等比数列的通项公式．

8.在中，角,,所对的边分别为，，，若的面积为，且,,成等差数列，则最小值为______．

【答案】4

【解析】

【分析】

先根据,,成等差数列得到，再根据余弦定理得到满足的等式关系，而由面积可得，利用基本不等式可求的最小值.

【详解】因为,,成等差数列，，故.

由余弦定理可得.

由基本不等式可以得到，当且仅当时等号成立.

因为，所以，

所以即，当且仅当时等号成立.

故填4.

【点睛】三角形中与边有关的最值问题，可根据题设条件找到各边的等式关系或角的等量关系，再根据边的关系式的结构特征选用合适的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把与边有关的目标代数式转化为与角有关的三角函数式后再求其最值.

9.设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为______.

【答案】①③

【解析】

【分析】

分别讨论和，找到矛盾，可判断①，通过以及可得到，则通过可判断②，通过时，， 时，，可判断③，算出，可判断④.

【详解】解：∵，
若，则，

此时，与矛盾，故不成立，

若，，

此时，与矛盾，故不成立，

∴，故①正确；

因为，，，

由得

，故②不正确；

因为，，，

所以当时，，当时，，
所以是数列中的最大项，故③正确；
，

，
∴使成立的最大自然数等于4032，故④不正确.
故答案为：①③.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

10.已知正项数列中，若存在正实数，使得对数列中任意一项，也是数列中的一项，称数列为“倒置数列”，是它的“倒置系数”；若等比数列的项数是，数列所有项之积是，则______（用和表示）

【答案】

【解析】

【分析】

由数列是项数为项的有穷正项等比数列，取，由“倒置数列”的定义可知，数列是“倒置数列”，再由等比数列的性质即可求得数列所有项之积是.

【详解】解：∵数列是项数为的有穷正项等比数列，取，
对数列中的任意一项，
也是数列中的一项，
由“倒置数列”的定义可知，数列是“倒置数列”，
又∵数列所有项之积是，
，
则.
故答案为：.

【点睛】本题是新定义题，考查等比数列的性质，正确找出数列的一个“倒置系数”是解答该题的关键，是中档题.

二．选择题

11.已知（），则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先计算出，再求得解.

【详解】由题得，

，

所以.

故选B

【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

12.下列等式中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用反三角函数对每一个选项逐一分析判断得解.

【详解】选项A,中x,而是错误的，所以该选项错误；

选项B, ,所以该选项是错误的；

选项C,，所以该选项是正确的；

选项D, ,反正切函数是定义域上的单调函数，所以该选项是错误的.

故选C

【点睛】本题主要考查反三角函数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

13.已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（　　）

A. 函数的图象关于点对称

B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数的最小正周期为

D. 当时，函数的图象与直线围成的封闭图形面积为

【答案】D

【解析】

【分析】

由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【详解】解：函数的部分图象，可得A＝2，•，∴ω＝2．

再根据五点法作图可得2•φ，∴φ，f（x）＝2sin（2x）．

令x，求得f（x）＝﹣2，为函数的最小值，故A错误；

令x，求得f（x）＝﹣1，不是函数的最值，故B错误；

函数f（2x）＝2sin（4x）的最小正周期为，故C错误；

当时，2x，函数f（x）的图象与直线y＝2围成的封闭图形为x、x、y＝2、y＝﹣2构成的矩形的面积的一半，

矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f（x）的图象与直线y＝2围成的封闭图形面积为2π，

故D正确，

故选D．

【点睛】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．

14.已知. 将四个数按照一定顺序排列成一个数列，则（ ）

A. 当时，存在满足已知条件的，四个数构成等比数列

B. 当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列

C. 当时，存在满足已知条件的，四个数构成等比数列

D. 当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列

【答案】D

【解析】

【分析】

注意到时，符合题目的要求，由此得出正确选项.

【详解】注意到时，，且的值为，构成公差为的等差数列.由此判断出D选项正确.故选D.

【点睛】本小题主要考查等比数列、等差数列的定义，考查分析求解能力，属于基础题.

三．解答题

15.已知函数，．

（1）求函数的最小正周期；

（2）当时，求函数的最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）最大值，最小值．

【解析】

分析】

（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性得出结论．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在区间上的值域．

【详解】解：（1）函数

，
故它的最小正周期；
（2）在区间上，，
故当 时，取得最小值为，取得最小值为；
当时，取得最大值为1，取得最大值为，
故函数在区间上的最大值，最小值．

【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

16.已知数列是等差数列，，公差，且是等比数列；

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据等比数列性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可；

（Ⅱ）根据的正负性，结合等差数列的前项和公式进行求解即可.

【详解】（Ⅰ）由题意：是等比数列，所以有

解得：或0（舍去），

所以；

（Ⅱ）当时，，即有；

当时，，，

即有．

【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了求等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和公式的应用，考查了数学运算能力

17.已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值.

【答案】（1），（2）（3）

【解析】

【分析】

（1）假设公差，公比，根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得，，然后利用公式法，可得结果.

（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.

（3）计算出，代值计算并化简，可得结果.

【详解】解：（1）依题意：，

即，解得：

所以，

（2），

，

，

上面两式相减，得：

则

即

所以，

（3）

，

所以

由得，，

即

【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题.

18.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，，．

（1）求、的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，有．

【答案】（1），；（2）；（3）证明详见解析．

【解析】

【分析】

（1）由得，，解得，同理可得；

（2）当时，，可得，化简构造数列为常数数列，求出的通项公式；

（3）当时，，利用放缩法证明不等式.

【详解】（1）由得，，又，所以；

当时，得，解得；

（2），当时，，

所以，

化简得：，所以，

即，

又，所以，

故数列为常数数列，所以，得；

（3），当时，，

数列为等差数列，

所以，

当时，，原不等式成立，

当时，，

所以

，原不等式成立，

综上，对一切正整数，有．

【点睛】本题主要考查了等差与等比数列的综合应用，考查了利用放缩法证明数列不等式，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.

四．附加题

19.已知函数，（）．

（1）试讨论并直接写出的单调性；

（2）试求的最小值．

【答案】（1）增区间：；减区间：，；（2）．

【解析】

【分析】

（1）根据辅助角公式可得，结合正弦函数的单调性即可得结果；

（2）根据（1）中的结论可得分子在处取得最小值2，分母取得最大值，进而可得结果.

【详解】（1）∵，

令，解得，

令，解得

即的增区间为，减区间：，

（2）由（1）可得在单调递增，在单调递减，

当时，；当时，

即和处同时取得最小值2，即在上恒成立，

而在处取得最大值，

所以当时，有最小值.

【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简，正弦型函数的单调性，以及函数最值的求法，属于中档题.

20.设数列的前项和满足：，．

（1）令，求证：数列为等比数列；

（2）求．

【答案】（1）证明详见解析；（2）．

【解析】

【分析】

（1）数列满足关系式，时，，相减可得与的关系，代入消去可得，即可证明．
（2）由（1）可得，可得，带入 可得结果.

【详解】（1）证明：数列满足关系式，，
则时，，

可得：，

则
，
又时，，解得．
，
∴数列为等比数列，首项为，公比为；
（2）解：由（1）可得：．
．
．

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系证明等比数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．