福建省福清市龙西中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com福清龙西中学2018-2019学年度高一下学期期中考试试卷数学

一、选择题（共12小题，每题5分共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上）

1.在中，等于（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正弦定理变形后易得结论．

【详解】由正弦定理得，

所以．

故选B．

【点睛】本题考查正弦定理的变形，解题时由正弦定理可直接得到结论，属于简单题．

2.若，，那么(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式的性质比较判断即可求解.

【详解】因为，

所以，

又，

所以，

故选：B

【点睛】本题主要考查了不等式性质，考查了推理分析能力，属于容易题.

3.下列命题中正确的是(    )

A. 若正数是等差数列，则是等比数列

B. 若正数是等比数列，则是等差数列

C. 若正数是等差数列，则是等比数列

D. 若正数是等比数列，则是等差数列

【答案】D

【解析】

分析】

根据等差数列与等比数列的性质，结合对数的运算性质，逐一判断真假，可得答案.

【详解】若正数a, b, c是等差数列，则2a, 2b, 2c是等差数列，但不一定是等比数列，例如，1,2,3是等差数列，2,4,6是等差数列，但不是等比数列，故A错误;

若正数a，b，c是等比数列，则2a，2b, 2c是等比数列，但不一定是等差数列，例如，1，2，4成等比数列，2,4,8成等比数列，不是等差数列，故B错误;

若正数a, b, c是等差数列，但中可能有0，不能做为等比数列的项,故C错误;

若正数a, b, c是等比数列，则

故成等差数列，故D正确.

故选：D

【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了等差数列和等比数列的定义，熟练掌握等差，等比数列的定义及性质是解答的关键，属于中档题.

4.边长为的三角形的最大角与最小角之和为    （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，

设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，

有余弦定理可得，cosθ=，

易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B．

5.不等式的解集为，那么(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

由二次不等式解集为，结合二次函数图象及二次方程可知满足的条件.

【详解】因为不等式的解集为，

所以对应的二次函数开口向上，与轴无交点或只有一个交点即可，

所以需满足.

故选：C

【点睛】本题主要考查了二次不等式与二次函数、二次方程的关系，由不等式的解求参数满足的范围，属于容易题.

6.设为正数， 则最小值为 ( )

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

【答案】B

【解析】

【分析】

整理后可用基本不等式求最小值.

【详解】，

当且仅当时等号成立，故最小值为9，选B.

【点睛】本题考查不等式的应用，属于容易题.

7.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）

A. 30 B. 45 C. 90 D. 186

【答案】C

【解析】

由，，，

所以．

8.在中，若，则的形状是

A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形

C. 不能确定 D. 等腰三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

题设中的边角关系可以转化为，故可判断三角形的形状.

【详解】有正弦定理有，因，故化简可得

即，

所以或者，.

因，故

或者，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选A.

【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.

9.设等差数列前n项和为，若，，则当取最小值时，n等于(    )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】

由等差数列中，，可求出公差，写出等差数列的求和公式，利用二次函数求最值即可.

【详解】因为等差数列中，，

所以，

即，

解得，

所以，

故当时，，

故选：A

【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的计算，求和公式，二次函数求最值，属于中档题.

10.的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．

【详解】解：成等比数列，，又，，

则

故选B．

【点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11.中三个角的对边分别记为a、b、c，其面积记为S，有以下命题：①；②若，则是等腰直角三角形；③；④，则是等腰或直角三角形.其中正确的命题是(    )

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④

【答案】D

【解析】

【分析】

根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换对各个命题进行判断．

【详解】由得代入得，①正确；

若，∴，，∵是三角形内角，∴，即，为等腰三角形，②错；

由余弦定理，又，∴，③正确；

，

则，∴，由正弦定理得，三角形中，则，，∴或，∴或，④正确．

故选：D．

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查三角形形状的判断，由正弦定理进行边角转化在其中起到了重要的作用，解题时注意体会边角转换．

12.将等差数列1，4，7……，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是_______

【答案】577

【解析】

【分析】

由等差数列的特征得到等差数列的通项公式,再根据三角形数阵的特点找出第20行3列的数代入公式计算即可.

【详解】由题意可得等差数列的通项公式为，由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为：,过数阵中第20行3列的数是数列的第193项，中.

【点睛】本题考查学生的观察能力以及数列的简单知识.本题解题的关键是找到三角形数阵中数排列的规律.

二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卷上）

13.若是数列的前n项和，且，则________.

【答案】21

【解析】

【分析】

直接由的定义计算．

【详解】．

故答案为：21．

【点睛】本题考查数列的前项的概念，属于基础题．

14.在中，，则的值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

由正弦定理化角为边，再由余弦定理计算．

【详解】，由正弦定理得，设，

则．

故答案为：．

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，属于基础题．

15.中，，， 是方程的根，则________.

【答案】6

【解析】

【分析】

解方程求出，再利用同角三角函数的基本关系：求出，利用三角形的面积公式即可求解.

【详解】，

解得，，

因为，所以，

因为为三角形的内角，

所以，

由，，

所以，

故答案为：6

【点睛】本题考查了三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系，熟记公式是解题的关键，属于基础题.

16.已知、都为正数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围.

【详解】、都为正数，且，由基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立，

所以，的最小值为，.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，利用基本不等式求出最值是解答关键，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题（6题，共74分，要求写出解答过程或者推理步骤）

17.若不等式的解集是

（1）求的值；

（2）求不等式．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据方程与不等式关系，可知的两个根分别为和2，结合韦达定理即可求得的值；

（2）代入的值，可得．通过移项，通分、合并同类项，即可解不等式．

【详解】（1）依题意知，且的两个实数根为和2

由韦达定理可得，

解得

（2）将代入不等式得

即，整理得

即，

解得，

故不等式的解集为

【点睛】本题考查了一元二次方程与二次不等式的关系，分式不等式的解法，特别注意解分式不等式不能够去分母，属于基础题．

18.如图，货轮在海上B处，以50海里/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155o的方向航行，为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80o．求此时货轮与灯塔之间的距离（答案保留最简根号）．

【答案】海里

【解析】

【详解】应该解△ABC,根据条件可求出∠BCA＝180o－155o＋80o＝105o，∠BAC＝180o－30o－105o＝45o, BC＝,所以应用正弦定理解之即可

在△ABC中，∠ABC＝155o－125o＝30o

∠BCA＝180o－155o＋80o＝105o，

∠BAC＝180o－30o－105o＝45o，

BC＝，

由正弦定理，得

∴AC＝=（海里）

答：船与灯塔间的距离为海里.

19.（1）已知数列的前项和，求通项公式；

（2）已知等比数列中，，，求通项公式.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）由题意结合数列与的关系，按照、分类讨论即可得解；

（2）由题意结合等比数列的通项公式可得，解出方程后，再利用等比数列的通项公式即可得解.

【详解】（1）当时，；

当时，，

当时，；

故有；

（2）由题意可得，

化简得，解得或，

所以或，

由可得或.

【点睛】本题考查了利用数列与的关系求数列的通项公式，考查了等比数列通项公式的基本量运算，属于基础题.

20.在中,内角A､B､C的所对的边是a､b､c,若

（1）求A；

（2）若,求的面积.

【答案】（1）.（2）

【解析】

【分析】

(1)根据余弦的差角公式化简,并利用三角形内角和为利用诱导公式求解即可.

(2)利用余弦定理可得,再代入面积公式求解即可.

【详解】(1)

∴,又∵,∴.

(2)由余弦定理有： ,

又因为,

,

【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换在解三角形中运用,同时也考查了解三角形中余弦定理与面积公式的运用,属于基础题.

21.某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元.

（1）求使用n年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S（千元）关于n的表达式；

（2）问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用（单位：千元）的最小值.（最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=（购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用）÷机器使用的年数）

【答案】（1）；（2）最佳年限是12年，平均费用为15.5千元.

【解析】

【分析】

(1)根据已知可得保养、维修、更换易损零件的费用成等差数列，根据首项公式，可得累计费用的表达式;

(2) 由(1)得到平均费用的表达式，结合基本不等式可得年平均费用的最小值.

【详解】（1）因为第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，每年增加1千元，

故每年的费用构成一个以2为首项，以1为公差的等差数列，

所以前n年的总费用

（2）设使用年的年平均费用为，则

当且仅当时，取等号，取最小值

故最佳年限是12年，平均费用为15.5千元.

【点睛】本题主要考查了等差数列求和，基本不等式，分析题意,提炼出数学模型是解答的关键，属于中档题.

22.已知等差数列满足：，，的前n项和为．

（Ⅰ）求通项公式及前n项和；

（Ⅱ）令=(nN*)，求数列的前n项和．

【答案】（Ⅰ）；=；（Ⅱ）=．

【解析】

试题分析：（1）结合已知中的等差数列的项的关系式，联立方程组得到其通项公式和前n项和．

（2）在第一问的基础上，得到bn的通项公式，进而分析运用裂项法得到．

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由已知可得，

解得，……………2分，

所以；………4分

==………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

所以===……9分

所以==

即数列的前n项和=……12分

考点：本试题主要考查了等差数列的通项公式以及前n项和的求解运用．

点评：解决该试题的关键是能得到等差数列的通项公式，然后求解新数列的通项公式，利用裂项的思想来得到求和．易错点就是裂项的准确表示．