提分专练08　以圆为背景的综合计算与证明

提分专练(八)　以圆为背景的综合计算与证明

|类型1|　圆与切线有关的问题

1.如图T8-1,☉O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD.

图T8-1

(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;

(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:直线CD是☉O的切线.

2.[2018·金华、丽水] 如图T8-2,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.

图T8-2

(1)求证:AD是☉O的切线;

(2)若BC=8,tanB=,求☉O的半径.

|类型2|　圆与平行四边形结合的问题

3.如图T8-3,AB是☉O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.

图T8-3

(1)求证:CE为☉O的切线;

(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.

4.[2018·河南] 如图T8-4,AB是☉O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交☉O于点C,过点C作☉O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.

图T8-4

(1)求证:CE=EF;

(2)连接AF并延长,交☉O于点G.填空:

①当∠D的度数为　　　　时,四边形ECFG为菱形; 

②当∠D的度数为　　　　时,四边形ECOG为正方形. 

|类型3|　圆与三角函数结合的问题

5.[2018·绵阳] 如图T8-5,AB是☉O的直径,点D在☉O上(点D不与A,B重合).直线AD交过点B的切线于点C,过点D作☉O的切线DE交BC于点E.

图T8-5

(1)求证:BE=CE;

(2)若DE∥AB,求sin∠ACO的值.

6.[2018·成都] 如图T8-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.

图T8-6

(1)求证:BC是☉O的切线;

(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;

(3)若BE=8,sinB=,求DG的长.

|类型4|　圆与相似三角形结合的问题

7.[2018·日照] 如图T8-7所示,☉O的半径为4,点A是☉O上一点,直线l经过点A.P是☉O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l于点B,交☉O于点E,直径PD延长线交直线l于点F,点A是的中点.

图T8-7

(1)求证:直线l是☉O的切线;

(2)若PA=6,求PB的长.

8.[2018·内江] 如图T8-8,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O交斜边AC于点D,过圆心O作OE∥AC,交BC于点E,连接DE.

图T8-8

(1)判断DE与☉O的位置关系并说明理由;

(2)求证:2DE2=CD·OE;

(3)若tanC=,DE=,求AD的长.

参考答案

1.解:(1)∵AB是☉O的直径,C在☉O上,

∴∠ACB=90°,

又∵BC=3,AB=5,

∴由勾股定理得AC=4.

(2)证明:如图,连接OC,

∵AC是∠DAB的平分线,

∴∠DAC=∠BAC.

又∵AD⊥DC,

∴∠ADC=∠ACB=90°,

∴∠DCA=∠CBA.

又∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA.

∵∠OAC+∠OBC=90°,

∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°,

∴DC是☉O的切线.

2.解:(1)证明:连接OD.

∵OB=OD,∴∠3=∠B.

∵∠B=∠1,∴∠3=∠1.

在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,

∴∠3+∠2=90°,

∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°.

∴OD⊥AD.

∴AD是☉O的切线.

(2)设☉O的半径为r.

在Rt△ABC中,AC=BC·tanB=8×=4,

∴AB===4.

∴OA=4-r.

在Rt△ACD中,tan∠1=tanB=,

∴CD=AC·tan∠1=4×=2,

∴AD2=AC2+CD2=42+22=20.

在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,

∴(4-r)2=r2+20.

解得r= .

故☉O的半径是 .

3.解:(1)证明:如图,连接OD,

∵点C,D为半圆O的三等分点,

∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.

∵OA=OD,

∴△AOD为等边三角形,

∴∠DAO=60°,

∴AE∥OC.

∵CE⊥AD,

∴CE⊥OC,

∴CE为☉O的切线.

(2)四边形AOCD为菱形.

理由:∵OD=OC,∠COD=60°,

∴△OCD为等边三角形,

∴CD=CO.

同理:AD=AO.

∵AO=CO,

∴AD=AO=CO=DC,

∴四边形AOCD为菱形.

4.解:(1)证明:连接OC.

∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE.

∴∠FCO+∠ECF=90°.

∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°.

∵∠CFE=∠BFO,

∴∠B+∠CFE=90°.

∵OC=OB,∴∠FCO=∠B.

∴∠ECF=∠CFE.

∴CE=EF.

(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.

∴∠DCF=90°.

∴∠DCE+∠ECF=90°,∠D+∠EFC=90°.

由(1)得∠ECF=∠CFE,

∴∠D=∠DCE.

∴ED=EC.

∴ED=EC=EF.

即点E为线段DF中点.

①四边形ECFG为菱形时,CF=CE.

∵CE=EF,∴CE=CF=EF.

∴△CEF为等边三角形.

∴∠CFE=60°.

∴∠D=30°.

②四边形ECOG为正方形时,△ECO为等腰直角三角形.

∴∠CEF=45°.

∵∠CEF=∠D+∠DCE,

∴∠D=∠DCE=22.5°.

5.解:(1)证明:连接OD,如图,

∵EB,ED为☉O的切线,

∴EB=ED,OD⊥DE,AB⊥CB,

∴∠ADO+∠CDE=90°,∠A+∠ACB=90°,

∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,

∴∠CDE=∠ACB,∴EC=ED,

∴BE=CE.

(2)作OH⊥AD于H,如图,设☉O的半径为r,

∵DE∥AB,

∴∠DOB=∠ODE=90°,

∴四边形OBED为矩形,

而OB=OD,

∴四边形OBED为正方形,

∴DE=CE=r,

易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形,

∴OH=DH=r,CD=r,

在Rt△OCB中,OC==r,

在Rt△OCH中,sin∠OCH===,

即sin∠ACO的值为.

6.[解析] (1)连接OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到∠DAC=∠ODA,得OD∥AC,切线得证;(2)连接EF,DF,根据直径所对圆周角为直角,证明∠AFE=90°,可得EF∥BC,因此∠B=∠AEF,再利用同弧所对圆周角相等可得∠B=∠ADF,从而证明△ABD∽△ADF,可得AD与AB,AF的关系;(3)根据∠AEF=∠B,利用三角函数,分别在Rt△DOB和Rt△AFE中求出半径和AF,代入(2)的结论中,求出AD,再利用两角对应相等,证明△OGD∽△FGA,再利用对应边成比例,求出DG∶AG的值,即可求得DG的长.

解:(1)证明:连接OD,

∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ODA,

∵AD平分∠BAC,

∴∠OAD=∠DAC,

∴∠DAC=∠ODA,

∴OD∥AC,

∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.

∵OD为☉O的半径,∴BC是☉O的切线.

(2)连接EF,DF.∵AE为☉O直径,

∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°,

∴EF∥BC,∴∠B=∠AEF.

∵∠ADF=∠AEF,∴∠B=∠ADF.

又∵∠OAD=∠DAC,∴△ABD∽△ADF,

∴=,∴AD2=AB·AF,

∴AD=.

(3)设☉O半径为r,

在Rt△DOB中,sinB==,

∴=,解得r=5,∴AE=10.

在Rt△AFE中,sin∠AEF=sinB=,

∴AF=10×=,

∴AD==.

∵∠ODA=∠DAC,∠DGO=∠AGF,

∴△OGD∽△FGA,

∴==,

∴=,

∴DG=.

7.解:(1)证明:连接OA.

∵OA=OP,∴∠OAP=∠OPA.

∵点A是的中点,

∴=,

∴∠DPA=∠APB,

∴∠OAP=∠APB.

∵PB⊥l,∴∠ABP=90°,

∴∠PAB+∠APB=90°,

∴∠PAB+∠OAP=90°,即OA⊥l,

∴直线l是☉O的切线.

(2)连接AD,

∵PD是直径,

∴∠PAD=90°,

∴∠PAD=∠PBA.

∵∠DPA=∠APB,

∴△PAD∽△PBA,

∴=,即=,∴PB=.

8.解:(1)DE与☉O的位置关系是相切.

理由:连接OD.

∵OE∥AC,∴∠BOE=∠A,∠DOE=∠ADO,

∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,

∴∠BOE=∠DOE,

∵OB=OD,OE=OE,∴△BOE≌△DOE,

∴∠OBE=∠ODE=90°,

∴OD⊥DE,∴DE是☉O的切线.

(2)证明:连接BD交OE于F.

∵OE∥AC,

∴==.

∵OA=OB,

∴BF=DF,BE=CE,

∴EF=CD.

∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,

∵OE∥AC,∴∠OFB=∠ADB=90°,

∴∠OBE=∠BFE,

∵∠BEO=∠BEF,∴△BEF∽△OEB,

∴=,∴BE2=EF·OE=CD·OE.

∵AB为直径,AB⊥BE,

∴BE是☉O的切线,由(1)得DE也是☉O的切线,

∴BE=DE,∴DE2=CD·OE,

∴2DE2=CD·OE.

(3)由(2)得∠BDC=90°,BE=CE,∴DE=BC,

∵DE=,∴BC=5.

在Rt△ABC中,tanC==,

∴AB=,∴AC==.

∵∠ABC=∠ADB=90°,∠A=∠A,

∴△ADB∽△ABC,

∴=,∴AB2=AD·AC,

∴AD=2÷=.