人教版新课标B选修2-22.2.1综合法与分析法教案

这是一份人教版新课标B选修2-22.2.1综合法与分析法教案，共14页。教案主要包含了问题导思，思路探究，自主解答，错因分析，防范措施等内容，欢迎下载使用。


第2课时　分析法及其应用
教学教法分析


(教师用书独具)



●三维目标
1．知识与技能
结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法．了解分析法的思维过程、特点．
2．过程与方法
会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．
3．情感、态度与价值观
通过学生参与，激发其学习数学的兴趣，端正严谨治学的态度，提高逆向思维的论证能力．
●重点难点
重点：掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤，会用分析法证明数学问题．
难点：根据问题的特点，结合分析法的思考过程、 特点，应用分析法证明较复杂的数学问题．
分析法是从结论到条件的逻辑推理方法，即从题目结论入手索证结论成立的充分条件，经过一系列的中间推理索证，最后要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，所以对结论变形、转化是问题解决的关键，也是问题的突破点，应该重点讲解．
教学方案设计


(教师用书独具)



●教学建议
建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导”“点拨”，让学生自主思考分析法的证明特点，掌握分析法的证明格式与解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何进行逆向推理，教师应给出必要的指导．另外应注意引导学生学会由结论去索证问题成立的充分条件，从结论入手并不是说证明就不需要已知条件，而是证明过程要时时处处关注已知，将证明引向已知或明显成立的式子是证明的关键．证明过程每一步都需可逆．在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出思维路线图，然后再由学生给出证明．
●教学流程
创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一——分析法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解分析法的证明格式、步骤等．引导学生分析例题1中所证结论的转化条件及转化方向，师生共同探究逆向推理思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善，并完成互动探究．学生分组探究例题2的证明思路，总结分析法证明数列问题的规律方法．完成变式训练中三角恒等问题的证明．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3，总结分析法综合法相结合综合应用的特点．并仿照例题3完成变式训练．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．
课前自主导学

课标解读
1.了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点)
2.理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．(难点)


知识
分析法
【问题导思】　
　证明不等式：＋2<2＋成立，可用下面的方法进行．
证明：要证明＋2<2＋，
由于＋2>0,2＋>0，
只需证明(＋2)2<(2＋)2.
展开得11＋4<11＋4，只需证明6<7，
　显然6<7成立．
∴＋2<2＋成立．
1．本题证明从哪里开始？
【提示】　从结论开始．
2．证题思路是什么？
【提示】　寻求每一步成立的充分条件．
1．分析法的定义
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．
2．分析法的框图表示
Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显
成立的条件
课前互动探究

类型1
应用分析法证明不等式
例题1 　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
【思路探究】　分析：讨论≥(a＋b)成立的条件，分a＋b≥0和a＋b<0两种情况．
【自主解答】　若a＋b<0，≥(a＋b)显然成立．
若a＋b≥0，要证≥(a＋b)成立，
只需证a2＋b2≥(a＋b)2成立，
即证a2＋b2≥(a2＋2ab＋b2)成立，
即证(a2－2ab＋b2)≥0，
即(a－b)2≥0成立，
因为(a－b)2≥0成立，且以上每步都可逆．
所以a＋b≥0时，≥(a＋b)成立，
综上可知：a，b为实数时，≥(a＋b)成立．

规律方法
1．分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．
2．用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．
3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．
变式训练
已知a>0，b>0，证明不等式＋≥a＋b.
【证明】　要证＋≥a＋b，
只需证a3＋b3≥a2b＋b2a，
只需证a3＋b3－a2b－b2a≥0，
即证(a－b)2(a＋b)≥0.
又a＞0，b＞0，(a－b)2(a＋b)≥0显然成立．
因此，原不等式成立.
类型2
用分析法证明其他问题
例题2 　在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，设bn＝2nan，证明：数列{bn}是等差数列．
【思路探究】　分析{bn}成为等差数列的条件是否成立．
【自主解答】　要证{bn}为等差数列，
只要证bn＋1－bn＝d(常数)(n≥1)，
即证2n＋1an＋1－2nan为常数．
即证2n＋1(an＋)－2nan为常数，
而2nan＋1－2nan＝1为常数成立．
∴{bn}是等差数列．

规律方法
1．利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．
2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．
变式训练
已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θ·cos θ＝sin2β，
求证：＝.
【证明】　＝⇐＝
⇐cos2α－sin2α＝
⇐2(1－2sin2α)＝1－2sin2β
⇐4sin2α－2sin2β＝1，
由已知得：4sin2α＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ，
＝1＋2sin θcos θ，
2sin2β＝2sin θcos θ，
∴4sin2α－2sin2β＝1成立，
∴＝成立.
类型3
综合法和分析法的综合应用
例题3　已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边．
求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
【思路探究】　利用分析法得出c2＋a2＝b2＋ac，再利用综合法证明其成立．
【自主解答】　要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
只需证＋＝3.
化简，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cos B＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac成立．
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．

规律方法
1．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路．
2．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．
变式训练
已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1.
求证：logx＋logx＋logx＜logx a＋logx b＋logx c.
【证明】　要证明logx＋logx＋logx＜logx a＋logx b＋logx c，
只需要证明logx(··)＜logx(abc)．
由已知0＜x＜1，只需证明··＞abc.
由公式≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··＞＝abc.
即··＞abc成立．
∴logx＋logx＋logx＜logx a＋logx b＋logx c成立.
易错易误辨析
因逻辑混乱而出错
典例　设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
【错解】　∵a∥b，且a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，
∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，
即sin αsin β＝16cos αcos β，
∴·＝16，
∴tan αtan β＝16，即结论正确．
【错因分析】　以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁．
【防范措施】　分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．
【正解】　分析法：要证明a∥b，而a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，
∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，
即要证sin αsin β＝16cos αcos β，
即要证·＝16，即要证tan αtan β＝16，
而tan αtan β＝16已知，所以结论正确．
综合法：∵tan αtan β＝16，∴·＝16，
即sin αsin β＝16cos αcos β，
∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，
即a＝(4cos α，sin α)与b＝(sin β，4cos β)共线，
∴a∥b.
课堂小结


1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．
2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
当堂双基达标
1．直接证明中最基本的两种证明方法是(　　)
A．类比法和归纳法　　　　B．综合法和分析法
C．比较法和二分法 D．换元法和配方法
【解析】　根据综合法和分析法的定义可知，二者均为直接证明方法．
【答案】　B
2．欲证－＜－，只需要证(　　)
A．(－)2＜(－)2
B．(－)2＜(－)2
C．(＋)2＜(＋)2
D．(－－)2＜(－)2
【解析】　∵－＜0，－＜0，
∴要证－＜－，只需证
＋＜＋，
即证(＋)2＜(＋)2.
【答案】　C
3．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．分析法和综合法综合使用
D．间接证法
【解析】　符合综合法的证明思路．
【答案】　B
4．已知a>b>0，试用分析证明>.
【证明】　要证明＞(由a＞b＞0，得a－b＞0)．
只需证(a2－b2)(a＋b)＞(a2＋b2)(a－b)，
只需证(a＋b)2＞a2＋b2，即2ab＞0，
因为a＞b＞0，所以2ab＞0显然成立．
因此当a＞b＞0时，＞成立.
课后知能检测
一、选择题
1．下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句有(　　)
A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个
【解析】　结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．
【答案】　C
2．要证明＋＜＋(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是(　　)
A．综合法 B．类比法
C．分析法 D．归纳法
【解析】　要证＋＜＋，
只需证2a＋7＋2＜2a＋7＋2，
只需证＜，
只需证a(a＋7)＜(a＋3)(a＋4)，
只需证0＜12，
故选用分析法最合理．
【答案】　C
3．已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．±1
【解析】　当a＝1时，f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，f(x)为奇函数．
a＝－1,0时得不出f(x)为奇函数，故A正确．
【答案】　A
4．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
【解析】　若满足题目中的条件，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由基本函数性质知，A是减函数，故选A.
【答案】　A
5．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2,2]
C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞)
【解析】　用分离参数法可得a≥－(|x|＋)(x≠0)，而|x|＋≥2，∴a≥－2，当x＝0时原不等式显然成立．
【答案】　C
二、填空题
6．设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A、B的大小关系为________．
【解析】　A－B＝－＝≥0.
【答案】　A≥B
7．若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，则点P的坐标为________．
【解析】　数形结合知，曲线y＝4x2在点P处的切线l与直线y＝4x－5平行．
设l：y＝4x＋b.将y＝4x＋b代入y＝4x2，
得4x2－4x－b＝0，令Δ＝0，得b＝－1.
∴4x2－4x＋1＝0，
∴x＝，∴y＝1.
【答案】　(，1)
8．补足下面用分析法证明基本不等式≥ab的步骤：
要证明≥ab，
只需证明a2＋b2≥2ab，
只需证____________，
只需证____________．
由于____________显然成立，因此原不等式成立．
【解析】　要证明≥ab，
只需证明a2＋b2≥2ab，
只需证a2＋b2－2ab≥0，
只需证(a－b)2≥0，
由于(a－b)2≥0显然成立，因此原不等式成立．
【答案】　a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0
三、解答题
9．如图2－2－3所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.
图2－2－3


求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.
【证明】　要证明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF⊥面BDD1B1.
要证EF⊥面BDD1B1，
只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，
即证EF⊥BD，EF⊥B1G.
而EF∥AC，AC⊥BD，
故EF⊥BD成立．
故只需证EF⊥B1G即可．
又∵△B1EF为等腰三角形，EF的中点为G，
∴B1G⊥EF成立．
∴EF⊥面BDD1B1成立，
从而问题得证．
10．设a，b>0，且a≠b，用分析法证明：a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】　要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立，
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．
由此命题得证．
11．已知a>0，b>0，用两种方法证明：＋≥＋.
【证明】　法一　(综合法)：
因为a>0，b>0，
所以＋－－
＝(－)＋(－)
＝＋＝(a－b)(－)
＝
所以＋≥＋.
法二　(分析法)：
要证＋≥＋，
只需证a＋b≥a＋b，
即证(a－b)(－)≥0，
因为a>0，b>0，a－b与－同号，
所以(a－b)(－)≥0成立，
所以＋≥＋成立.
教师备课资源


(教师用书独具)



备选例题
　已知函数f(x)＝lg(－1)，x∈(0，)，
若x1，x2∈(0，)，且x1≠x2.
求证：[f(x1)＋f(x2)]＞f()．
【思路探究】　用分析法，逆推所证不等式成立的充分条件．
【自主解答】　要证[f(x1)＋f(x2)]＞f()，
只需证lg(－1)＋lg(－1)＞2lg(－1)，
只需证(－1)(－1)＞(－1)2.
∵(－1)(－1)－(－1)2
＝.
由于x1，x2∈(0，)，且x1≠x2，
∴＞0，
即(－1)(－1)＞(－1)2，
∴[f(x1)＋f(x2)]＞f()．

规律方法
　本题依托对数函数，考查分析法的应用，对对数函数的性质要会灵活运用．
备选变式
　已知非零向量a，b且a⊥b，求证：≤.
【证明】　要证≤，
只要证|a|＋|b|≤|a－b|，
即证|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2|a2－2a·b＋b2|.①
∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴①⇔|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2|a|2＋2|b|2⇔(|a|－|b|)2≥0成立，
∴原不等式成立．