九年级数学 培优竞赛 专题02 从求根公式谈起 讲义学案

专题02 从求根公式谈起

例1  －3或2

例2  C  提示：当－1≥0时，即x≤－1或x≥1时，原方程化为－（4－）x＋7－－9＝0，解得＝4－，＝，均符合；当－1＜0时，即－1＜x＜1时，原方程可化为＋（4－）x＋7－＝0，解得＝－2，满足题意．

例3  1991

例4  ①当m＝1时，解得x＝2．  ②当m≠1时，－4ac＝12m－11．当m＞时，＝；当m＝时，x＝5；当m＜时，原方程无实根．

例5  为叙述方便，该题设中的四个方程依次为①、②、③、④，设方程①和方程②的公共根为α，则两式相减，得．同理可得，方程③和方程④的公共根为．∴＝1．注意到方程①的两根之积为1，则β也是方程①的根，从而＝0．又∵＝0，两式相减，得（a－1）β＝a－1．若a＝1，则方程①无实根，这与方程①有根有矛盾，∴a≠1．∴β＝1，α＝1．于是a＝－2，b＋c＝－1．又∵a－b＋c＝3，∴b＝－3，c＝2．

例6  解法一：∵1＋（a＋17）＋（38－a）－56＝0，∴x＝1为原方程的一个根，从而原方程可化为（x－1）＝0．①∵x为正整数，∴方程＋（a＋18）x＋56＝0的判别式Δ＝－224必为完全平方数．设－224＝（m为非负整数），则－224＝224，即（a＋m＋18）（a－m＋18）＝224＝112×2＝56×4＝28×8．又∵a＋m＋18与a－m＋18具有相同的奇偶性，且a＋m＋18＞a－m＋18，a＋m＋18＞18，∴或或解得或或又a为正整数，∴或．当a＝39时，方程①的根为－1和－56；当a＝12时，方程①的根为－2和－28．综上所述，当a＝39时，原方程的三个根为1，－1和－56；当a＝12时，原方程的三个根为1，－2和－28．

解法二：原方程可化为（－x）a＝56－38x－17－②，显然x≠0．当x＝1时，②式恒成立．当x≠1时，方程②可化为a＝＝－x－18－．∵a为正整数，∴－x－18－＞0，∴x＋18＋＜0．显然x＜0，∴＋18x＋56＞0，解得x＜－－9或－9＜x＜0．又x为整数，且x|56，∴x可取－56，－28，－2，－1．由韦达定理知（－56）×（－1）＝（－28）×（－2），若－56和－1为方程②的两个根，则－（a＋18）＝－56－1，即a＝39；若－28和－2为方程②的两个根，则－（a＋18）＝－28－2，即a＝12．综上所述，当a＝39时，原方程的三个根为1，－1和－56；当a＝12时，原方程的三个根为1，－2和－28．

A级

1. ＝q＋7   2．2   3．   4．＝＝－1，＝－3±   5．C   6．B   7．C   8．D 

9．1998   

10. m＝ 提示：由已知得a＋＝－4．
11. 假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实根为a，则①－②得（m－2）（a－1）＝0，∴m＝2或a＝1．当m＝2时，已知两个方程为同一个方程，且没有实数根，故m＝2舍去；当a＝1时，代入①得m＝－3，可求得公共根为x＝1．
12. 当k＝4或k＝8，分别求得x＝1或x＝－2．当k≠4且k≠8时，原方程可化为＝0，∴＝，＝．∵k为整数，且，均为整数，∴4－k＝±1，±2，±4，±8且8－k＝±1，±2，±4，∴k＝6，12．故k＝4，6，8，12时，原方程的根为整数．

B级

1．4  2．－1 

3. －3  提示：代入根得（7＋2a＋b）＋（－4－a）＝0．
4. C  提示：由题给方程－3＝2．又∵≤x，则－3≤2x，∴－2x－3≤0，则－1≤x≤3，∴只可能取值为－1，0，1，2，3．分别代入原方程解得x＝－1，，3，故原方程共有三个解．

5．D  6．C  7．D   8．D 

9．5  提示：由x＝4－，得－8x＋13＝0．

10. 当2x－1＞0即x＞时，原方程化为－2x－3＝0，解得＝3，＝－1（舍去）；当2x－1＝0即x＝时，－4＝－4≠0，舍去；当2x－1＜0即x＜时，原方程化为＋2x－5＝0，解得＝－1－，＝－1＋＞（舍去），故所有根之和为3＋（－1－）＝2－．
11. 由条件知a＞1，b＞1，a≠b，解得①的两个根为a，，②的两个根为b，．∵a≠b，∴a＝③或b＝④，由③④均得ab－a－b－2＝0，即（a－1）（b－1）＝3．因为a，b均为正整数，则有或解得或代入所求值得表达式化简得＝＝256．

12．