2022届贵州省名校联盟高三上学期12月联考数学（理）试题（含解析）

2022届贵州省名校联盟高三上学期12月联考

数学试卷（理科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：集合，不等式，函数与导数，三角函数，向量，圆锥曲线，立体几何占30%；排列组合与二项式定理，概率与统计，算法与框图，复数占70%．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．      B．      C．      D．

2．已知，若复数是纯虚数，则（    ）

A．0      B．2      C．      D．

3．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A．      B．      C．      D．

4．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（    ）

A．      B．      C．2      D．3

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．      B．      C．      D．

6．已知是R上的奇函数，且当时，，若，则（    ）

A．      B．      C．      D．1

7．展开式中的系数为（    ）

A．120      B．      C．160      D．

8．甲、乙、丙、丁4人站成一排排练节目，且甲、乙2人必须相邻，则不同的站队方法有（    ）

A．12种      B．24种      C．36种      D．48种

9．将编号分别为a，b，c，d，e，f的6张卡片从左到右排成一行，若卡片a必须在卡片b的左边，则不同的排列方法有（    ）

A．240种      B．360种      C．480种      D．540种

10．不透明的袋子中有大小相同的2个白球，3个红球，4个黑球，从中一次性摸出4个球，则3种颜色的球都被摸出的不同的摸法种数为（    ）

A．12      B．36      C．72      D．81

11．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（    ）

A．甲与丁相互独立      B．乙与丁相互独立

C．甲与丙相互独立      D．丙与丁相互独立

12．若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围为（    ）

A．      B．      C．      D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知实数x，y满足，则目标函数的最小值为________．

14．已知，则________．

15．已知，则________，_________．（本题第一空2分，第二空3分）

16．定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分（满分150分）”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据（数据都是正整数）的描述：

①甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128；

②乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121；

③丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125．

则数学成绩一定优秀的同学是_________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

（1）用0，2，4，6，8这五个数字可以组成多少个不同且无重复数字的四位数？

（2）将5件不同的礼物分给甲1件，乙、丙各2件，试问有多少种不同的分配方法？

18．（12分）

已知复数，是实数．

（1）求复数z；

（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围．

19．（12分）

2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，并发出通知，要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实．该文件被称为“双减”，“双减”提出要全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担，同时坚持从严治理，全面规范校外培训行为．在“双减”颁布前，某地教育局为了解当地中学生参加校外培训的情况，随机调查了当地100名学生，得到的数据如下表：

（1）在“双减”颁布前，以这100名学生参加校外培训的情况分别估计当地初中生和高中生参加校外培训的概率；

（2）在“双减”颁布前，能否有95%的把握认为学生是否参加校外培训与年级段有关？

附：．

20．（12分）

某企业组织篮球赛，已知A，B，C，D四支篮球队进入决赛，决赛采用单循环赛制（即每支球队和其他球队各进行一场比赛）．根据以往多次比赛的统计，A篮球队与B，C，D三支篮球队比赛获胜的概率分别是，，，且各场比赛互不影响．

（1）求A篮球队至少获胜2场的概率；

（2）求A篮球队在决赛中获胜场数X的分布列和数学期望．

21．（12分）

在2021年“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取1000人，每人在规定区间内给出一个“满意度”分数，评分在60分以下的视为“不满意”，在60分到80分之间（含60分但不含80分）的视为“基本满意”，在80分及以上的视为“非常满意”．现将他们的评分按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值．

（2）若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，再从这20人中随机抽取3人，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X．

①写出X的分布列，并求数学期望；

②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得50元话费补贴，请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望．

22．（12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为和，且，，，四点中恰有三点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线和与直线分别交于G和H两点，设直线和的斜率分别为和，若线段的长度小于，求的最大值．

高三数学试卷参考答案（理科）

1．B  【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．

因为，所以．

2．D  【解析】本题考查复数的概念与运算，考查运算求解能力．

因为是纯虚数，所以解得．

3．C  【解析】本题考查平面向量的夹角，考查数学运算的核心素养．

设向量与的夹角为，因为，所以，即，又，所以，解得．

4．C  【解析】本题考查算法与程序框图，考查运算求解能力．

依题意得若输出的，则输入的．

5．D  【解析】本题考查三视图，考查直观想象的核心素养．

根据三视图还原几何体的直观图，如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等腰三角形，，，四边形为矩形，，从而，，．

6．A  【解析】本题考查函数的性质，考查数学运算的核心素养．

由题意知，．因为，所以，解得，所以，则．

7．D  【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养．

展开式的通项为，令，得的系数为．

8．A  【解析】本题考查排列组合知识的应用，考查数学抽象与数学建模的核心素养．

将甲、乙2人“捆”在一起看成1个人，共有种站队方法．

9．B  【解析】本题考查排列组合知识的应用，考查数学抽象与数学建模的核心素养．

．

10．C  【解析】本题考查排列组合知识的应用，考查数学抽象与数学建模的核心素养．

摸出的4个球中含2个白球，1个红球，1个黑球的摸法有种；

摸出的4个球中含1个白球，2个红球，1个黑球的摸法有种；

摸出的4个球中含1个白球，1个红球，2个黑球的摸法有种．

共有种不同的摸法．

11．C  【解析】本题考查相互独立事件的概念，考查数学运算的核心素养．

由题意得P（甲），P（乙），P（丙），P（丁），P（甲丁）P（甲）P（丁），P（乙丁）P（乙）P（丁），P（甲丙）P（甲）P（丙），P（内丁）P（丙）P（丁）．

12．B  【解析】本题考查导数的综合应用，考查分类讨论的数学思想与推理论证能力．

令，，则对任意的恒成立，所以在上单调递增，从而．

①若，则当时，恒成立，符合题意．

②若，，易知在上单调递增，

因为，所以，所以，即，

所以．

因为，，所以，，所以．

因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线，

且，所以存在唯一的，使得，

当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去．

综上，实数a的取值范围为．

13．  【解析】本题考查线性规划问题，考查直观想象的核心素养．

画出可行域（图略）知．当直线过点时，z取得最小值．

14．  【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．

因为，所，解得，从而．

15．1024（或）；1  【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养和化归与转化的数学思想．

令，得；令，得．

16．乙  【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析与逻辑推理的核心素养．

在①中，甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128，

可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同学的数学成绩不一定优秀；

在②中，乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121，

所以前三个数为121，121，127，则后两个数肯定大于127，故乙同学的数学成绩一定优秀；

在③中，丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125，最大值与最小值的差为10，若最大值为129，则最小值为119．即119，125，125，127，129，故内同学的数学成绩不定优秀．

综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙．

17．解：（1）第一步，千位数字有4种填法；第二步，百位数字有4种填法；第三步，十位数字有3种填法；第四步，个位数字有2种填法，故这五个数字可以组成个不同且无重复数字的四位数．

（2）方法一：先把1件礼物分给甲，有种方法，再从剩下的4件礼物中任选2件分给乙，有种方法，最后剩下的2件分给丙，所以一共有种不同的分配方法．

方法二：共有种不同的分配方法．

18．解：（1）因为，

所以，

因为是实数，所以，解得．

故．

（2）因为，

所以．

因为复数所表示的点在第二象限，

所以

解得，即实数m的取值范围是．

19．解：（1）表中数据可估计，当地初中生在“双减”颁布前参加校外培训的概率；

当地高中生在“双减”颁布前，参加校外培训的概率．

（2）由题可知，．

因为，所以有95%的把握认为学生是否参加校外培训与年级段有关．

20．解：（1）A篮球队1场未胜的概率，

A篮球队获胜1场的概率，

故A篮球队至少获胜2场的概．

（2）由题意可得X的所有取值分别为0，1，2，3．

由（1）可知，，

，

．

则X的分布列为

故．

21．解：（1）这1000人中对该款手机“非常满意”的人数为．

由频率分布直方图可得，得分的中位数为，则，解得，所以中位数为65分．

（2）①若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人则“不满意”与“基本满意”的用户应抽取人，“非常满意”的用户应抽取人，

X的可能取值分别为0，1，2，3，

，，

，，

则X的分布列为

故．

②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则（元），

所以元，

故这3人将获得的话费补贴总额的期望为172.5元．

22．解：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．

又由，知C不经过点，所以点在C上．

所以解得

所以椭圆C的标准方程为．

（2）设，如图，过点P作直线轴，分别交x轴和直线于M，N两点．

易知，则，即，

由，得，所以．

，

由，得，从而，

所以当时，，即的最大值为．

另解：由，得，

，

当时，．